A curva plana
, cuja equação cartesiana é dada por
, é representada por:
a) um segmento de reta;
b) um arco de circunferência;
c) uma parábola;
d) um arco de elipse;
e) um ramo de hipérbole.
a) um segmento de reta;
b) um arco de circunferência;
c) uma parábola;
d) um arco de elipse;
e) um ramo de hipérbole.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para identificar que tipo de curva é representada pela equação $ xy = 1 $ com $ x \geq 0 $. Estamos trabalhando com geometria analítica, especificamente com o estudo das curvas cônicas. Para resolver, vamos precisar entender os diferentes tipos de curvas cônicas e como identificar cada uma delas a partir da equação dada.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar a equação $ xy = 1 $. Essa equação relaciona as coordenadas $ x $ e $ y $ de todos os pontos que pertencem à curva. Nosso objetivo é identificar qual tipo de curva cônica essa equação representa.
Passo 3
As principais curvas cônicas são hipérbole, parábola e elipse, além de casos especiais como a circunferência (que é um tipo de elipse). Vamos lembrar rapidamente como cada uma é caracterizada:
- Parábola: Geralmente tem a forma $ y = ax^2 + bx + c $ ou similar, onde há um termo quadrático.
- Elipse: Tem a forma $ \frac{x2}{a2} + \frac{y2}{b2} = 1 $.
- Hipérbole: Possui a forma $ \frac{x2}{a2} - \frac{y2}{b2} = 1 $ ou $ \frac{y2}{b2} - \frac{x2}{a2} = 1 $.
Passo 4
Vamos ver qual dessas formas se assemelha mais à nossa equação $ xy = 1 $. Observamos que não está na forma padrão de nenhuma das curvas mencionadas, então vamos manipular um pouco a equação para compará-la melhor.
Passo 5
Podemos reescrever $ xy = 1 $ como $ y = \frac{1}{x} $. Isso já nos dá uma pista, pois sabemos que a função $ y = \frac{1}{x} $ é conhecida por ser uma hipérbole.
Passo 6
Além disso, a condição $ x \geq 0 $ indica que vamos considerar apenas a parte da hipérbole onde $ x $ é positivo, ou seja, apenas um dos ramos da hipérbole.
Passo 7
Portanto, a curva $ xy = 1 $ com $ x \geq 0 $ representa um ramo de hipérbole.
Resposta
e) um ramo de hipérbole.