A curva plana C, cuja equação cartesiana é dada por xy=1, x >= 0, é representada por:
a) um segmento de reta;
b) um arco de circunferência;
c) uma parábola;
d) um arco de elipse;
e) um ramo de hipérbole.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para identificar que tipo de curva é representada pela equação $ xy = 1 $ com $ x \geq 0 $. Estamos trabalhando com geometria analítica, especificamente com o estudo das curvas cônicas. Para resolver, vamos precisar entender os diferentes tipos de curvas cônicas e como identificar cada uma delas a partir da equação dada.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a equação $ xy = 1 $. Essa equação relaciona as coordenadas $ x $ e $ y $ de todos os pontos que pertencem à curva. Nosso objetivo é identificar qual tipo de curva cônica essa equação representa.

Passo 3

As principais curvas cônicas são hipérbole, parábola e elipse, além de casos especiais como a circunferência (que é um tipo de elipse). Vamos lembrar rapidamente como cada uma é caracterizada:
  • Parábola: Geralmente tem a forma $ y = ax^2 + bx + c $ ou similar, onde há um termo quadrático.
  • Elipse: Tem a forma $ \frac{x2}{a2} + \frac{y2}{b2} = 1 $.
  • Hipérbole: Possui a forma $ \frac{x2}{a2} - \frac{y2}{b2} = 1 $ ou $ \frac{y2}{b2} - \frac{x2}{a2} = 1 $.

Passo 4

Vamos ver qual dessas formas se assemelha mais à nossa equação $ xy = 1 $. Observamos que não está na forma padrão de nenhuma das curvas mencionadas, então vamos manipular um pouco a equação para compará-la melhor.

Passo 5

Podemos reescrever $ xy = 1 $ como $ y = \frac{1}{x} $. Isso já nos dá uma pista, pois sabemos que a função $ y = \frac{1}{x} $ é conhecida por ser uma hipérbole.

Passo 6

Além disso, a condição $ x \geq 0 $ indica que vamos considerar apenas a parte da hipérbole onde $ x $ é positivo, ou seja, apenas um dos ramos da hipérbole.

Passo 7

Portanto, a curva $ xy = 1 $ com $ x \geq 0 $ representa um ramo de hipérbole.

Resposta

e) um ramo de hipérbole.

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