Essa equação diferencial pode ser resolvida usando separação de variáveis?
\frac{d y}{d x}=(7-3 x) e^{-y}
Escolha 1 resposta:
(A) Sim
(B) Não

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial
\frac{dy}{dx}=(7-3x)e^{-y}
e pergunta se ela pode ser resolvida por separação de variáveis. Ou seja: dado isso, preciso afirmar explicitamente “Sim” ou “Não”.

Passo 2

O que é separação de variáveis (explicação didática)?
Uma equação diferencial de primeira ordem é separável quando pode ser escrita na forma
\frac{dy}{dx}=f(x)\,g(y),
isto é, o lado direito é produto de uma função que depende só de x e outra que depende só de y. Se isso ocorre, podemos rearranjar os termos para agrupar todos os y com dy e todos os x com dx, obtendo algo do tipo
G(y)\,dy=F(x)\,dx,
e então integrar ambos os lados. Essa é a ideia: “separar” as variáveis para integrar.

Passo 3

Identificar as partes na equação dada. Comparando
\frac{dy}{dx}=(7-3x)e^{-y}
com \frac{dy}{dx}=f(x)\,g(y), vemos que podemos escolher
f(x)=7-3x,\qquad g(y)=e^{-y}.
Portanto o lado direito é de fato um produto de uma função só de x por uma função só de y.

Passo 4

Fazer a separação algébrica (passo a passo). Multiplica-se ambos os lados por e^{y} e por dx para agrupar as variáveis:
e^{y}\frac{dy}{dx}=7-3x
\Rightarrow\qquad e^{y}\,dy=(7-3x)\,dx.
Aqui foi usado que e^{y} é a multiplicativa inversa de e^{-y}, e rearranjamos para ter y-dependentes à esquerda e x-dependentes à direita.

Passo 5

Integrar ambos os lados (mostrar e explicar as integrais). Integramos em y à esquerda e em x à direita:
\int e^{y}\,dy=\int (7-3x)\,dx.
Relembrando fórmulas básicas de integração:
  • \displaystyle \int e^{y}\,dy=e^{y}+C_1, porque a derivada de e^{y} é e^{y}.
  • \displaystyle \int 7\,dx=7x.
  • \displaystyle \int -3x\,dx=-3\cdot\frac{x^{2}}{2}=-\frac{3}{2}x^{2}.
Assim, ao integrar obtemos
e^{y}=7x-\frac{3}{2}x^{2}+C,
onde C é a constante de integração (já combinando constantes dos dois lados).

Passo 6

Obter a solução explícita em y e comentar domínio. Tomando logaritmo natural (quando o argumento for positivo) obtemos a solução explícita
y=\ln\!\left(7x-\frac{3}{2}x^{2}+C\right).
Observação importante: a expressão dentro do \ln deve ser positiva no intervalo considerado, então a constante C e os valores de x devem ser tais que 7x-\tfrac{3}{2}x^{2}+C>0. Isso é apenas uma restrição de domínio, não impede que a equação seja separável.

Passo 7

Conclusão final do raciocínio: a equação é da forma produto f(x)g(y), permitiu agrupar y com dy e x com dx, e integrar. Logo é separável e foi possível encontrar a solução geral acima.

Resposta

(A) Sim

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