Essa equação diferencial pode ser resolvida usando separação de variáveis?
Escolha 1 resposta:
(A) Sim
(B) Não
(A) Sim
(B) Não
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial
e pergunta se ela pode ser resolvida por separação de variáveis. Ou seja: dado isso, preciso afirmar explicitamente “Sim” ou “Não”.
Passo 2
O que é separação de variáveis (explicação didática)?
Uma equação diferencial de primeira ordem é separável quando pode ser escrita na forma
Uma equação diferencial de primeira ordem é separável quando pode ser escrita na forma
isto é, o lado direito é produto de uma função que depende só de
e outra que depende só de
. Se isso ocorre, podemos rearranjar os termos para agrupar todos os
com
e todos os
com
, obtendo algo do tipo
e então integrar ambos os lados. Essa é a ideia: “separar” as variáveis para integrar.
Passo 3
Identificar as partes na equação dada. Comparando
com
, vemos que podemos escolher
Portanto o lado direito é de fato um produto de uma função só de
por uma função só de
.
Passo 4
Fazer a separação algébrica (passo a passo). Multiplica-se ambos os lados por
e por
para agrupar as variáveis:
Aqui foi usado que
é a multiplicativa inversa de
, e rearranjamos para ter
-dependentes à esquerda e
-dependentes à direita.
Passo 5
Integrar ambos os lados (mostrar e explicar as integrais). Integramos em
à esquerda e em
à direita:
Relembrando fórmulas básicas de integração:
-
, porque a derivada de é . -
. -
.
Assim, ao integrar obtemos
onde
é a constante de integração (já combinando constantes dos dois lados).
Passo 6
Obter a solução explícita em
e comentar domínio. Tomando logaritmo natural (quando o argumento for positivo) obtemos a solução explícita
Observação importante: a expressão dentro do
deve ser positiva no intervalo considerado, então a constante
e os valores de
devem ser tais que
. Isso é apenas uma restrição de domínio, não impede que a equação seja separável.
Passo 7
Conclusão final do raciocínio: a equação é da forma produto
, permitiu agrupar
com
e
com
, e integrar. Logo é separável e foi possível encontrar a solução geral acima.
Resposta
(A) Sim