Reparametrize as curvas pelo parâmetro comprimento de arco medido a partir do ponto t=0 na direção crescente de t.
© r(t)=e^t i+e^t sin t j+e^t cos t k

Passo 1

Vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Você tem uma curva definida por e precisa reparametrizá-la usando o comprimento de arco a partir de , seguindo a direção crescente de . Para isso, vamos precisar usar conhecimentos de cálculo vetorial, especificamente sobre derivadas e integrais de vetores, além de entender como calcular o comprimento de arco.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a derivada da função vetor r'(t) = ddt(e^t) i + ddt(e^t sin t) j + ddt(e^t cos t) k em relação a r'(t) = e^t i + e^t (sin t + cos t) j + e^t (cos t - sin t) k . Isso nos dará a velocidade da curva em cada ponto.
Calculando cada derivada:

Passo 3

Agora, vamos calcular o módulo dessa derivada, que representa a velocidade escalar da curva:
|r'(t)| = raiz(e^t)^2 + (e^t (sin t + cos t))^2 + (e^t (cos t - sin t))^2
Vamos simplificar dentro da raiz:
|r'(t)| = e^t raiz1 + (sin t + cos t)^2 + (cos t - sin t)^2
Calculando os quadrados:
(sin t + cos t)^2 + (cos t - sin t)^2 = 2sin^2 t + 2cos^2 t = 2(sin^2 t + cos^2 t) = 2
Portanto:
|r'(t)| = e^t raiz1 + 2 = e^t raiz3

Passo 4

O comprimento de arco s(t) = integral0^t |r'(tau)|, dtau = integral0^t e^tau raiz3, dtau = raiz3 (e^t - 1) em função de é dado pela integral da velocidade escalar:

Passo 5

Agora, precisamos expressar s = raiz3 (e^t - 1) implies e^t = 1 + sraiz3 implies t = ln(1 + sraiz3) em função de . Vamos resolver a equação acima para :

Passo 6

Com r(s) = e^t(s) i + e^t(s) sin t(s) j + e^t(s) cos t(s) k em função de r(s) = (1 + sraiz3) i + (1 + sraiz3) sin(ln(1 + sraiz3)) j + (1 + sraiz3) cos(ln(1 + sraiz3)) k , podemos substituir na expressão original da curva para obter a reparametrização :
Substituindo :

Resposta

A reparametrização da curva pelo comprimento de arco r(s) = (1 + sraiz3) i + (1 + sraiz3) sin(ln(1 + sraiz3)) j + (1 + sraiz3) cos(ln(1 + sraiz3)) k é:

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