Reparametrize as curvas pelo parâmetro comprimento de arco medido a partir do ponto
na direção crescente de
.
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Passo 1
Vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Você tem uma curva definida por
e precisa reparametrizá-la usando o comprimento de arco
a partir de
, seguindo a direção crescente de
. Para isso, vamos precisar usar conhecimentos de cálculo vetorial, especificamente sobre derivadas e integrais de vetores, além de entender como calcular o comprimento de arco.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a derivada da função vetor
em relação a
. Isso nos dará a velocidade da curva em cada ponto.
Calculando cada derivada:
Passo 3
Agora, vamos calcular o módulo dessa derivada, que representa a velocidade escalar da curva:
Vamos simplificar dentro da raiz:
Calculando os quadrados:
Portanto:
Passo 4
O comprimento de arco
em função de
é dado pela integral da velocidade escalar:
Passo 5
Agora, precisamos expressar
em função de
. Vamos resolver a equação acima para
:
Passo 6
Com
em função de
, podemos substituir na expressão original da curva para obter a reparametrização
:
Substituindo
:
Resposta
A reparametrização da curva pelo comprimento de arco
é: