Reparametrize a curva
r(t)=(2t^2+1-1) i+2 tt^2+1 j
com respeito ao comprimento de arco medido a partir de t=0 na direção crescente de t. Coloque a reparametrização na forma mais simples possível. O que é possível concluir sobre a curva?

Passo 1

O enunciado nos pede para reparametrizar a curva r(t)=l(tfrac2t^2+1-1,,tfrac2tt^2+1r) por comprimento de arco a partir de t=0. O conteúdo aqui é reparametrização por comprimento de arco, então vamos precisar calcular a velocidade |r'(t)|, integrar para achar s(t) e inverter essa relação.

Passo 2

Para achar a velocidade usamos r'(t) e a definição |r'(t)|=raiz(x'(t))^2+(y'(t))^2. Observando que x=1-t^21+t^2 e y=2t1+t^2 é a projeção estereográfica da circunferência, notamos que na verdade r(t)=l(cosphi,sinphir) com phi=2arctan t. Assim
|r'(t)|=l|phi'(t)r|=l|21+t^2r|=21+t^2,

Passo 3

o que coincide com o módulo da derivada de um ângulo variando. O comprimento de arco a partir de t=0 até t é
s(t)=integral0^t21+u^2,du=2arctan t

Passo 4

Invertendo, obtemos t=tans2 e substituímos em r(t). Ao substituir t=tantfracs2 em x=tfrac1-t^21+t^2 e y=tfrac2t1+t^2, aparece
x=cos s, y=sin s,

Passo 5

logo a reparametrização por comprimento de arco é r(s)=(cos s,sin s) e a curva é o arco da circunferência unitária.

Resposta

A reparametrização por comprimento de arco é
r(s)=cos s,i+sin s,j,
com s=2arctan t. Conclui-se que a curva é (parte do) círculo de raio unitário.

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