com respeito ao comprimento de arco medido a partir de na direção crescente de . Coloque a reparametrização na forma mais simples possível. O que é possível concluir sobre a curva?
Passo 1
O enunciado nos pede para reparametrizar a curva por comprimento de arco a partir de . O conteúdo aqui é reparametrização por comprimento de arco, então vamos precisar calcular a velocidade , integrar para achar e inverter essa relação.
Passo 2
Para achar a velocidade usamos e a definição . Observando que e é a projeção estereográfica da circunferência, notamos que na verdade com . Assim
Passo 3
o que coincide com o módulo da derivada de um ângulo variando. O comprimento de arco a partir de t=0 até t é
s(t)=integral0^t21+u^2,du=2arctan t
Passo 4
Invertendo, obtemos t=tans2 e substituímos em r(t). Ao substituir t=tantfracs2 em x=tfrac1-t^21+t^2 e y=tfrac2t1+t^2, aparece
x=cos s, y=sin s,
Passo 5
logo a reparametrização por comprimento de arco é r(s)=(cos s,sin s) e a curva é o arco da circunferência unitária.
Resposta
A reparametrização por comprimento de arco é
r(s)=cos s,i+sin s,j,
com s=2arctan t. Conclui-se que a curva é (parte do) círculo de raio unitário.