Se gamma(t) é uma curva suave com t in[a, b], mostre que
integralgamma r cdot d r=1 / 2[|gamma(b)|^2-|gamma(a)|^2]

Passo 1

O enunciado diz que temos uma curva suave gammacolon [a,b]toR^n e pede para mostrar que a integral de linha
integralgammavec rcdot dvec r
vale
12l[|gamma(b)|^2-|gamma(a)|^2r]
O conteúdo principal envolve parametrizar a integral por t e usar a regra de derivada da norma ao quadrado.

Passo 2

Parametrizando a curva por t, definimos vec r=gamma(t) e
dvec r=gamma'(t),dt
Logo a integral de linha vira
integralgammavec rcdot dvec r =integrala^bgamma(t)cdotgamma'(t),dt

Passo 3

Para simplificar o integrando, usamos que a derivada da norma ao quadrado satisfaz
ddt|gamma(t)|^2 =ddt[gamma(t)cdotgamma(t)] =2,gamma(t)cdotgamma'(t)
Isto implica
gamma(t)cdotgamma'(t) =12,ddt|gamma(t)|^2

Passo 4

Substituindo na integral, obtemos
integrala^bgamma(t)cdotgamma'(t),dt =12integrala^bddt|gamma(t)|^2,dt =12l[|gamma(b)|^2-|gamma(a)|^2r],
já que a integral de uma derivada é o valor final menos o inicial.

Resposta

integralgammavec rcdot dvec r =12l[|gamma(b)|^2-|gamma(a)|^2r]

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