Se
é uma curva suave com
, mostre que
Passo 1
O enunciado diz que temos uma curva suave
e pede para mostrar que a integral de linha
vale
O conteúdo principal envolve parametrizar a integral por
e usar a regra de derivada da norma ao quadrado.
Passo 2
Parametrizando a curva por
, definimos
e
Logo a integral de linha vira
Passo 3
Para simplificar o integrando, usamos que a derivada da norma ao quadrado satisfaz
Isto implica
Passo 4
Substituindo na integral, obtemos
já que a integral de uma derivada é o valor final menos o inicial.