Se W é um sólido não homogêneo com densidade em cada ponto dada por w=f(x, y, z), então os momentos de inércia em torno dos eixos coordenados são definido por:
Ix=integral triplaW(y^2+z^2) f(x, y, z) d x d y d z, Iy=integral triplaW(x^2+z^2) f(x, y, z) d x d y d z e
Iz=integral triplaW(x^2+y^2) f(x, y, z) d x d y d z
Determine o momento de inércia de cada sólido em relação ao eixo indicado supondo que a densidade é K constante.
W=(x, y, z) in R^3 / a^2 <= x^2+y^2 <= b^2, 0 <= z <= h em relação ao eixo dos z

Passo 1

O enunciado pede o momento de inércia em torno do eixo z de um sólido não homogêneo com densidade constante K. O sólido é
W = (x,y,z)mid a^2 <= x^2 + y^2 <= b^2,;0<= z<= h,
que é um “anel cilíndrico” de altura h. Para resolver, vamos usar a definição
Iz=integral triplaW(x^2+y^2),K,dx,dy,dz
e mudar para coordenadas cilíndricas.

Passo 2

Em coordenadas cilíndricas temos
x = rcostheta, y = rsintheta, z=z,
de modo que
x^2+y^2=r^2, dV = dx,dy,dz = r,dr,dtheta,dz
O sólido W fica descrito por
a<= r<= b, 0<= theta<= 2pi, 0<= z<= h

Passo 3

Substituindo tudo na integral de Iz, obtemos
Iz =Kintegralz=0^h!!integraltheta=0^2pi!!integralr=a^br^2,(r,dr,dtheta,dz) =Kintegral0^hintegral0^2piintegrala^br^3,dr,dtheta,dz

Passo 4

Agora basta calcular as integrais iteradas:
integralr=a^br^3,dr = b^4-a^44, integral0^2pidtheta = 2pi, integral0^hdz = h
Então
Iz =K;gl(hgr);l(2pir);b^4-a^44 =pi,K,h2,l(b^4-a^4r)

Resposta

Iz = pi,K,h2,l(b^4-a^4r)

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