Determine se os campos vetoriais a seguir são ou não conservativos, em caso afirmativo encontre a função varphi tal que nabla varphi=F.
F(x, y)=(e^x sen(y), e^x sen(y))

Passo 1

O enunciado dá o campo vetorial
F(x,y) = l(P(x,y),,Q(x,y)r) com P(x,y)=e^xsin(y),; Q(x,y)=e^xsin(y)
Queremos verificar se F é conservativo num domínio simplesmente conectado (aqui R^2), ou seja, checar se existe varphi tal que
nabla varphi = F

Passo 2

Para um campo ser conservativo em R^2 basta checar se
partial Ppartial y ;=;partial Qpartial x
Calculamos
partial Ppartial y =partialpartial yl(e^xsin(y)r) =e^xcos(y),
partial Qpartial x =partialpartial xl(e^xsin(y)r) =e^xsin(y)
Como
e^xcos(y) ;neq; e^xsin(y) para a maioria dos (x,y),
temos partial P/partial yneq partial Q/partial x.

Resposta

F não é conservativo, logo não existe função potencial varphi com nablavarphi=F.

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