Seja f(x)=x+e^x^3-1. Calcule:
(f^-1)^prime(y), com y=2.

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para calcular a derivada da função inversa de no ponto onde . Esse tipo de problema envolve conceitos de funções inversas e derivadas, especificamente a fórmula para a derivada da função inversa.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar o valor de x + e^x^3 - 1 = 2 tal que . Ou seja, resolveremos a equação:
Essa equação não é fácil de resolver algébricamente, então vamos usar métodos numéricos ou de aproximação para encontrar o valor de .

Passo 3

Vamos tentar encontrar uma aproximação para 1 + e^1 - 1 = 1 + e^0 = 1 + 1 = 2 . Testando valores próximos:
  • Se :
Então, satisfaz a equação .

Passo 4

Agora que sabemos que f'(x) = 1 + e^x^3 - 1 cdot 3x^2 quando f'(1) = 1 + e^1 - 1 cdot 3(1)^2 = 1 + 1 cdot 3 = 4 , vamos calcular a derivada de nesse ponto. A derivada de é:
Substituindo :

Passo 5

A fórmula para a derivada da função inversa é:
(f^-1)'(y) = 1f'(x)
onde . J�� sabemos que quando , e .

Resposta

(f^-1)^prime(2) = 14

Exercícios relacionados