Seja
. Calcule:
.
Passo 1
Vamos resolver o exercício que pede para calcular a derivada da função inversa de
no ponto onde
. Esse tipo de problema envolve conceitos de funções inversas e derivadas, especificamente a fórmula para a derivada da função inversa.
Passo 2
Primeiro, precisamos encontrar o valor de
tal que
. Ou seja, resolveremos a equação:
Essa equação não é fácil de resolver algébricamente, então vamos usar métodos numéricos ou de aproximação para encontrar o valor de
.
Passo 3
Vamos tentar encontrar uma aproximação para
. Testando valores próximos:
- Se
:
Então,
satisfaz a equação
.
Passo 4
Agora que sabemos que
quando
, vamos calcular a derivada de
nesse ponto. A derivada de
é:
Substituindo
:
Passo 5
A fórmula para a derivada da função inversa é:
onde
. J�� sabemos que
quando
, e
.