A curva y=x /(1+x^2) possui uma equação da reta tangente em um ponto. Encontre esta equação

Passo 1

O enunciado dá a curva definida pela função
y = x1 + x^2
e pede a equação da reta tangente em um ponto genérico dessa curva. Para isso, vamos usar o conceito de derivada (que nos dá a inclinação da reta tangente) e a fórmula ponto-inclinação da reta.

Passo 2

Calcular a derivada f'(x) usando a regra do quociente. Seja f(x)=u(x)/v(x) com u(x)=x e v(x)=1+x^2. Então
u'(x)=1, v'(x)=2x,
e
f'(x) =u'(x),v(x)-u(x),v'(x)[v(x)]^2 =1cdot(1+x^2)-xcdot2x(1+x^2)^2 =1 + x^2 - 2x^2(1+x^2)^2 =1 - x^2(1 + x^2)^2

Passo 3

Denotemos por x0 a abscissa do ponto de tangência. As coordenadas do ponto são
l(x0,,y0r) com y0 = f(x0) = x01 + x0^2
A inclinação da reta tangente nesse ponto é
m = f'(x0) = 1 - x0^2(1 + x0^2)^2

Passo 4

Aplicar a fórmula ponto-inclinação da reta tangente:
y - y0 = m,(x - x0)
Substituindo y0 e m, obtemos
y - x01 + x0^2 = 1 - x0^2(1 + x0^2)^2,(x - x0)

Resposta

A equação da reta tangente à curva y=tfracx1+x^2 no ponto de abscissa x0 é
y - x01 + x0^2 = 1 - x0^2(1 + x0^2)^2,(x - x0)

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