2- Use a Transformada de Laplace para resolver o problema de valor inicial em [0,+infty)
c ddoty+doty-2 y=5 e^-t sen 2 t y(0)=1, doty(0)=0

Passo 1

O enunciado pede para resolver o problema de valor inicial
ddot y + dot y - 2y = 5e^-tsin2t, y(0)=1,;dot y(0)=0,
usando Transformada de Laplace em [0,infty). Vamos usar
  • Ldot y(s)=sY(s)-y(0),
  • Lddot y(s)=s^2Y(s)-s,y(0)-dot y(0),
  • e o “teorema do descolamento” Le^atf(t)(s)=F(s-a).

Passo 2

Aplico L em ambos os lados de
ddot y+dot y-2y=5e^-tsin2t.
No lado esquerdo:
Lddot y+ Ldot y-2 Ly =(s^2Y -scdot1-0)+(sY-1)-2Y =(s^2+s-2)Y-(s+1)
No lado direito:
L5e^-tsin2t =5cdot2(s+1)^2+4 =10(s+1)^2+4
Logo a equação algébrica é
(s^2+s-2)Y(s)-(s+1)=10(s+1)^2+4

Passo 3

Isolo Y(s) e fatoro s^2+s-2=(s-1)(s+2):
(s^2+s-2)Y(s) =(s+1)+10(s+1)^2+4 ;Longrightarrow; Y(s) =s+1(s-1)(s+2) +10(s-1)(s+2)l[(s+1)^2+4r]

Passo 4

Faço frações parciais no primeiro termo:
s+1(s-1)(s+2) =As-1+Bs+2,
s+1=A(s+2)+B(s-1) leva a A=2/3, B=1/3.

Passo 5

Frações parciais no segundo termo:
10(s-1)(s+2)l[(s+1)^2+4r] =Cs-1+Ds+2+Es+F(s+1)^2+4
“Cover–up” em s=1 C=5/12, em s=-2 D=-2/3.
Comparando coeficientes no polinômio restante resulta em
E=1/4 e F=-5/4.

Passo 6

Somando tudo e reunindo termos semelhantes, obtemos
Y(s) =13/12s-1 -1/3s+2 +tfrac14(s+1)-tfrac32(s+1)^2+4
Escrevendo
tfrac14(s+1)-tfrac32 =tfrac14(s+1)-tfrac32 e sabendo
L^-1s+1(s+1)^2+4=e^-tcos2t,
L^-12(s+1)^2+4=e^-tsin2t,
estamos prontos para inverter.

Passo 7

Aplicando L^-1 termo a termo:
L^-1tfrac1312tfrac1s-1 =tfrac1312e^t, L^-1-tfrac13tfrac1s+2 =-tfrac13e^-2t,
L^-1tfrac14s+1(s+1)^2+4 =tfrac14e^-tcos2t, L^-1-tfrac321(s+1)^2+4 =-tfrac32cdottfrac12,e^-tsin2t =-tfrac34e^-tsin2t
Somando tudo surge a solução no tempo:
y(t) =1312e^t -13e^-2t +14e^-tcos2t -34e^-tsin2t

Resposta

boxed,y(t) =1312e^t -13e^-2t +14e^-tcos2t -34e^-tsin2t,

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