Seja
y=\frac{x^{4}}{16}+\frac{1}{2 x^{2}} \quad 1 \leq x \leq 2
Faça o que se pede:
a) Calcule o comprimento da curva
b) Calcule a área da superfície obtida pela rotação da curva descrita em torno do eixo y.

Passo 1

O enunciado dá a curva
y = \frac{x^{4}}{16} + \frac{1}{2\,x^{2}},\quad 1 \le x \le 2
e pede
– (a) o comprimento de arco dessa curva;
– (b) a área da superfície gerada ao girá-la em torno do eixo y.
Vamos usar:
  1. a fórmula do comprimento de arco
L = \int_{1}^{2} \sqrt{1 + \bigl(y'\bigr)^{2}}\;dx,
  1. a fórmula da área de revolução em torno do eixo y
S = 2\pi \int_{1}^{2} x\,\sqrt{1 + \bigl(y'\bigr)^{2}}\;dx.

Passo 2

Calculamos a derivada usando a regra do poder:
y = \frac{x^{4}}{16} + \frac{1}{2}x^{-2} \quad\Longrightarrow\quad y' = \frac{4\,x^{3}}{16} - \frac{2}{2}\,x^{-3} = \frac{x^{3}}{4} - \frac{1}{x^{3}}.

Passo 3

Agora montamos
1 + \bigl(y'\bigr)^{2} = 1 + \Bigl(\frac{x^{3}}{4} - \frac{1}{x^{3}}\Bigr)^{2} = 1 + \frac{x^{6}}{16} - 2\cdot\frac{x^{3}}{4}\cdot\frac{1}{x^{3}} + \frac{1}{x^{6}} = \frac{x^{6}}{16} + \frac{1}{x^{6}} + \frac12.
Reconhecemos um quadrado perfeito:
\frac{x^{6}}{16} + \frac{1}{x^{6}} + \frac12 = \Bigl(\frac{x^{3}}{4} + \frac{1}{x^{3}}\Bigr)^{2},
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\sqrt{1 + (y')^{2}} = \frac{x^{3}}{4} + \frac{1}{x^{3}}.

Passo 4

Comprimento de arco:
L = \int_{1}^{2} \Bigl(\frac{x^{3}}{4} + \frac{1}{x^{3}}\Bigr)\,dx = \int_{1}^{2} \frac{x^{3}}{4}\,dx \;+\; \int_{1}^{2} x^{-3}\,dx.
Calculando cada termo:
\int \frac{x^{3}}{4}\,dx = \frac{x^{4}}{16}, \qquad \int x^{-3}\,dx = -\frac{1}{2\,x^{2}}.
Logo
L = \Bigl[\frac{x^{4}}{16} - \frac{1}{2\,x^{2}}\Bigr]_{1}^{2} = \Bigl(\frac{2^{4}}{16} - \frac{1}{2\cdot2^{2}}\Bigr) - \Bigl(\frac{1^{4}}{16} - \frac{1}{2\cdot1^{2}}\Bigr) = \Bigl(1 - \tfrac18\Bigr) - \Bigl(\tfrac1{16} - \tfrac12\Bigr) = \frac{7}{8} - \bigl(-\tfrac{7}{16}\bigr) = \frac{21}{16}.

Passo 5

Área da superfície por revolução em torno do eixo y:
S = 2\pi \int_{1}^{2} x\Bigl(\frac{x^{3}}{4} + \frac{1}{x^{3}}\Bigr)\,dx = 2\pi \int_{1}^{2} \Bigl(\frac{x^{4}}{4} + x^{-2}\Bigr)\,dx.
Integramos:
\int \frac{x^{4}}{4}\,dx = \frac{x^{5}}{20}, \qquad \int x^{-2}\,dx = -\frac{1}{x}.
Portanto
S = 2\pi \Bigl[\frac{x^{5}}{20} - \frac{1}{x}\Bigr]_{1}^{2} = 2\pi\Bigl(\bigl(\tfrac{32}{20} - \tfrac12\bigr) - \bigl(\tfrac1{20} - 1\bigr)\Bigr) = 2\pi\Bigl(\tfrac{8}{5} - \tfrac12 + 1 - \tfrac1{20}\Bigr) = 2\pi\cdot \frac{41}{20} = \frac{41\pi}{10}.

Resposta

a) L = \tfrac{21}{16}.
b) S = \tfrac{41\pi}{10}.

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