Para as curvas alpha(t)=(cos t, sen t, t) e beta(t)=(t, t^2-2 t+1, t^3-3 t^2+3 t-1).
Mostre que as curvas se intersectam no ponto P=(1,0,0).

Passo 1

Temos as curvas paramétricas alpha(t)=(cos t,sin t,t) e beta(u)=(u,u^2-2u+1,u^3-3u^2+3u-1). Queremos mostrar que existe t e u tais que ambas valem P=(1,0,0). Isso envolve resolver sistemas de equações obtidos ao igualar cada coordenada ao ponto P.

Passo 2

Para achar t em que alpha(t)=P, montamos o sistema:
cos t=1,
sin t=0,
t=0.
Da primeira equação vem t=2pi k, mas a condição na terceira fixa t=0. Logo alpha(0)=(cos0,sin0,0)=(1,0,0).

Passo 3

Para achar u em que beta(u)=P, igualamos a primeira coordenada: u=1. Substituindo na segunda coordenada:
1^2-2cdot1+1=0,
e na terceira:
1^3-3cdot1^2+3cdot1-1=0.
Logo beta(1)=(1,0,0).

Resposta

Como alpha(0)=beta(1)=(1,0,0), as curvas se intersectam em P.

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