Verifique se a função dada é uma solução para a equação diferencial( c1 e c2 são constantes).

Passo 1

Resumo do enunciado: temos a EDO não linear de segunda ordem
y'' + (y')^2 = 0
e queremos verificar se
y = \ln\lvert x + c_1\rvert + c_2
é solução. O que vamos precisar: conhecer a derivada de ln|u| e substituir no lado esquerdo da equação.

Passo 2

Vamos calcular a primeira derivada. Como y = lnlvert x + c1rvert + c2, aplicando a regra de derivação de ln|u| ( (ln|u|)' = u'/u) e lembrando que c2 é constante, obtemos:
$$
y’ = \frac{1}{x + c_1}$$

Passo 3

Agora calculamos a segunda derivada. Derivando y' = 1x + c1 em relação a x, usando que a derivada de 1/u é -u' / u^2, temos:
$$
y’’ = -\frac{1}{(x + c_1)^2}$$

Passo 4

Substituímos y' e y'' na equação y'' + (y')^2 = 0. Assim:
y'' + (y')^2 = -1(x + c1)^2 + l(1x + c1r)^2 = -1(x + c1)^2 + 1(x + c1)^2 = 0

Passo 5

Conclusão: a soma y'' + (y')^2 realmente se anula para qualquer x + c1 neq 0, logo a função dada satisfaz a equação diferencial.

Resposta

Sim. A função y = lnlvert x + c1rvert + c2 é solução da equação diferencial.

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