Verifique se a função dada é uma solução para a equação diferencial(
e
são constantes).
Passo 1
Resumo do enunciado: temos a EDO não linear de segunda ordem
e queremos verificar se
y = \ln\lvert x + c_1\rvert + c_2
é solução. O que vamos precisar: conhecer a derivada de e substituir no lado esquerdo da equação.
y = \ln\lvert x + c_1\rvert + c_2
é solução. O que vamos precisar: conhecer a derivada de
Passo 2
Vamos calcular a primeira derivada. Como
, aplicando a regra de derivação de
(
) e lembrando que
é constante, obtemos:
$$
y’ = \frac{1}{x + c_1}$$
Passo 3
Agora calculamos a segunda derivada. Derivando
em relação a
, usando que a derivada de
é
, temos:
$$
y’’ = -\frac{1}{(x + c_1)^2}$$
Passo 4
Substituímos
e
na equação
. Assim:
Passo 5
Conclusão: a soma
realmente se anula para qualquer
, logo a função dada satisfaz a equação diferencial.
Resposta
Sim. A função
é solução da equação diferencial.