1. Curvas de Bertrand: Duas curvas \alpha(s) and \bar{\alpha}(s) são ditas companheiras de Bertrand se suas retas normais coincidem em pontos correspondentes. Prove que \alpha e \bar{\alpha} são curvas de Bertrand se, e somente se, existem constantes a, b \in \mathbb{R} tais que a \kappa+b \tau=1.

Passo 1

O enunciado pede para provar uma equivalência: mostrar que duas curvas \alpha(s) e \bar{\alpha}(s) são curvas de Bertrand (isto é, suas retas normais principais coincidem em pontos correspondentes) se, e somente se, existem constantes a,b\in\mathbb{R} tais que
a\kappa(s)+b\tau(s)=1
para todo s, onde \kappa(s) e \tau(s) são, respectivamente, a curvatura e a torção da curva \alpha no ponto correspondente.
Informações e notação que vamos usar (pegar isto do enunciado e da definição de Bertrand):
  • \alpha(s) é uma curva regular parametrizada por comprimento de arco s. Denotar o triêto de Frenet por \{ \mathbf{t}(s),\mathbf{n}(s),\mathbf{b}(s)\}.
  • \kappa(s)>0 é a curvatura e \tau(s) é a torção de \alpha.
  • “Retas normais coincidem em pontos correspondentes” significa que, para cada s, o ponto \bar{\alpha}(s) está sobre a reta normal principal em \alpha(s) e a direção dessa normal é a mesma para ambas as curvas no ponto correspondente.
  • Objetivo: provar as duas implicações (i) se as curvas são de Bertrand então existem constantes a,b com a\kappa+b\tau=1; (ii) se existem tais constantes então as curvas são de Bertrand.

Passo 2

Recordando as fórmulas de Frenet-Serret (isto é teoria que precisamos):
  • Para \alpha(s) parametrizada por comprimento de arco valem
\mathbf{t}'(s)=\kappa(s)\,\mathbf{n}(s), \qquad \mathbf{n}'(s)=-\kappa(s)\,\mathbf{t}(s)+\tau(s)\,\mathbf{b}(s), \qquad \mathbf{b}'(s)=-\tau(s)\,\mathbf{n}(s).
Aqui \mathbf{t} é o vetor tangente unitário, \mathbf{n} o vetor normal principal unitário e \mathbf{b} o binormal unitário. A notação ' ) significa derivada em relação a s.
Essas fórmulas vão ser usadas para derivar expressões quando escrevermos \bar{\alpha} em termos da base \{\mathbf{t},\mathbf{n},\mathbf{b}\}.

Passo 3

Prova da implicação “Bertrand \Rightarrow existe relação linear com constantes”.
Hipótese: \alpha e \bar{\alpha} são curvas de Bertrand, ou seja, as retas normais principais coincidem em pontos correspondentes. Isso significa que, para cada s, o ponto \bar{\alpha}(s) pertence à reta que passa por \alpha(s) na direção \mathbf{n}(s). Logo existe uma função escalar \lambda(s) tal que
\bar{\alpha}(s)=\alpha(s)+\lambda(s)\,\mathbf{n}(s).
Isto é apenas a parametrização do fato de que \bar{\alpha}(s) está sobre a normal em \alpha(s).
Diferenciando em relação a s e usando as fórmulas de Frenet-Serret:
\bar{\alpha}'(s)=\mathbf{t}(s)+\lambda'(s)\mathbf{n}(s)+\lambda(s)\mathbf{n}'(s) =\mathbf{t}(s)+\lambda'(s)\mathbf{n}(s)+\lambda(s)\bigl(-\kappa(s)\mathbf{t}(s)+\tau(s)\mathbf{b}(s)\bigr).
Reagrupando os termos:
\bar{\alpha}'(s)=(1-\lambda(s)\kappa(s))\,\mathbf{t}(s)+\lambda'(s)\,\mathbf{n}(s)+\lambda(s)\tau(s)\,\mathbf{b}(s).
Agora vem uma observação crucial: em qualquer curva, o vetor tangente unitário da curva \bar{\alpha} é ortogonal à normal principal daquela curva. Pela hipótese de Bertrand as normais coincidem, isto é, a normal principal de \bar{\alpha} é \mathbf{n}(s). Portanto o vetor \bar{\alpha}'(s) (que é paralelo ao tangente de \bar{\alpha}) deve ser ortogonal a \mathbf{n}(s). Assim o coeficiente do vetor \mathbf{n}(s) na expressão de \bar{\alpha}'(s) deve ser zero. Logo
\lambda'(s)=0.
Portanto \lambda(s) é constante; chame-a de a\in\mathbb{R}:
\bar{\alpha}(s)=\alpha(s)+a\,\mathbf{n}(s),\qquad a\\ \text{constante}.
Com isso podemos escrever, de forma mais simples,
\bar{\alpha}'(s)=(1-a\kappa(s))\,\mathbf{t}(s)+a\tau(s)\,\mathbf{b}(s).
Defina as funções auxiliares
p(s):=1-a\kappa(s),\qquad q(s):=a\tau(s),
assim \bar{\alpha}'=p\,\mathbf{t}+q\,\mathbf{b}.

Passo 4

Continuando a partir de \bar{\alpha}'=p\,\mathbf{t}+q\,\mathbf{b}: calcule a segunda derivada usando Frenet:
\bar{\alpha}''(s)=p'(s)\mathbf{t}+p(s)\mathbf{t}'(s)+q'(s)\mathbf{b}+q(s)\mathbf{b}'(s).
Substituindo \mathbf{t}'=\kappa\mathbf{n} e \mathbf{b}'=-\tau\mathbf{n} obtemos
\bar{\alpha}''(s)=p'(s)\mathbf{t}+\bigl(p(s)\kappa(s)-q(s)\tau(s)\bigr)\mathbf{n}+q'(s)\mathbf{b}.
Por outro lado, para uma curva parametrizada por s (aqui s é comprimento de arco da curva original \alpha, \bar{\alpha} pode não estar parametrizada por comprimento de arco), vale a decomposição geral da aceleração:
\bar{\alpha}''(s)=v'(s)\,\bar{\mathbf{t}}(s)+v(s)^2\,\bar{\kappa}(s)\,\bar{\mathbf{n}}(s),
onde v(s):=\lVert \bar{\alpha}'(s)\rVert é a velocidade de \bar{\alpha} em relação a s, \bar{\mathbf{t}} é o tangente unitário, \bar{\kappa} e \bar{\mathbf{n}} são curvatura e normal de \bar{\alpha}. Note que \bar{\mathbf{t}}(s) está no espaço gerado por \mathbf{t}(s) e \mathbf{b}(s) (porque \bar{\alpha}' está nesse plano) e \bar{\mathbf{n}}(s)=\mathbf{n}(s) pela hipótese de normal coincidente. Comparando as duas expressões para \bar{\alpha}'', os componentes na direção \mathbf{t} e na direção \mathbf{b} devem ser proporcionais aos respectivos componentes de \bar{\alpha}'. Assim existem coeficientes que tornam
p'(s)=\frac{v'(s)}{v(s)}\,p(s),\qquad q'(s)=\frac{v'(s)}{v(s)}\,q(s).
Isto implica, subtraindo as duas igualdades multiplicadas convenientemente,
p'(s)q(s)-q'(s)p(s)=0,
ou seja
\biggl(\frac{p(s)}{q(s)}\biggr)'=0\quad\text{(onde definido)}.
Logo a razão p(s)/q(s) é constante em s. Denote essa constante por c\in\mathbb{R}. Assim
p(s)=c\,q(s)\quad\text{para todo }s.
Voltando às definições de p e q:
1-a\kappa(s)=c\bigl(a\tau(s)\bigr).
Reescrevendo:
a\kappa(s)+(-c a)\,\tau(s)=1.
Portanto existem constantes a e b:= -c a tais que, para todo s,
a\kappa(s)+b\tau(s)=1.
Isto provou a implicação desejada. (Observação técnica: tratou-se o caso genérico em que q(s) não é identicamente nulo; se q\equiv0 ocorre uma situação degenerada onde \tau\equiv0 ou a=0 e o enunciado se ajusta facilmente — a relação linear também aparece; para evitar complicações supõe-se normalmente \kappa e \tau não nulas identicamente.)

Passo 5

Prova da implicação “existe relação linear \Rightarrow Bertrand”.
Agora suponha que existam constantes a,b\in\mathbb{R} tais que, para todo s,
a\kappa(s)+b\tau(s)=1.
Defina uma curva candidata \widetilde{\alpha} por
\widetilde{\alpha}(s):=\alpha(s)+a\,\mathbf{n}(s).
Isto é natural: estamos deslocando cada ponto de \alpha ao longo da sua normal em uma distância constante a. Vamos mostrar que a normal principal de \widetilde{\alpha} coincide com \mathbf{n}(s), isto é, as curvas formam um par de Bertrand.
Calcule a derivada:
\widetilde{\alpha}'(s)=(1-a\kappa(s))\,\mathbf{t}(s)+a\tau(s)\,\mathbf{b}(s).
Pela hipótese a\kappa+b\tau=1 temos 1-a\kappa=b\tau. Substituindo:
\widetilde{\alpha}'(s)=b\tau(s)\,\mathbf{t}(s)+a\tau(s)\,\mathbf{b}(s)=\tau(s)\bigl(b\,\mathbf{t}(s)+a\,\mathbf{b}(s)\bigr).
Portanto, quando \tau(s)\neq0, \widetilde{\alpha}'(s) é paralelo ao vetor b\,\mathbf{t}+a\,\mathbf{b}, ou seja, o tangente de \widetilde{\alpha} está no plano gerado por \mathbf{t} e \mathbf{b}, e isto mostra que a normal de \widetilde{\alpha} é perpendicular a esse plano — portanto é \mathbf{n}(s). Para ver isso de modo algébrico, calcule a segunda derivada:
\widetilde{\alpha}''(s)=\tau'(s)\bigl(b\,\mathbf{t}+a\,\mathbf{b}\bigr)+\tau(s)\bigl(b\,\mathbf{t}' + a\,\mathbf{b}'\bigr).
Usando \mathbf{t}'=\kappa\mathbf{n} e \mathbf{b}'=-\tau\mathbf{n} obtemos
\widetilde{\alpha}''(s)=\tau'(s)\bigl(b\,\mathbf{t}+a\,\mathbf{b}\bigr)+\tau(s)\bigl(b\kappa(s)-a\tau(s)\bigr)\mathbf{n}(s).
A decomposição acima mostra que a componente de \widetilde{\alpha}'' perpendicular a \widetilde{\alpha}' está na direção de \mathbf{n}(s); isto é exatamente a indicação de que a normal principal de \widetilde{\alpha} é \mathbf{n}(s). Em outras palavras, as normais principais coincidem ponto a ponto e, portanto, \alpha e \widetilde{\alpha} são curvas de Bertrand.
Resta checar regularidade (velocidade não nula): a velocidade \lVert\widetilde{\alpha}'\rVert é |\tau|\sqrt{a^{2}+b^{2}} quando \tau\neq0, portanto não se anula; pontos com \tau=0 são tratados por continuidade. Assim \widetilde{\alpha} é uma curva regular (em hipóteses usuais de não degenerescência) e a construção fornece uma curva companheira de Bertrand.

Passo 6

Conclusão sintética: mostrámos as duas implicações.
  • Se \alpha e \bar{\alpha} são curvas de Bertrand então existe a (distância constante ao longo da normal) e uma constante b tal que a\kappa+b\tau=1.
  • Reciprocamente, se existem constantes a,b tais que a\kappa+b\tau=1, então a curva \bar{\alpha}(s)=\alpha(s)+a\mathbf{n}(s) tem a mesma normal principal \mathbf{n}(s) de \alpha em pontos correspondentes, logo são curvas de Bertrand.
Isto completa a prova da afirmação pedida.

Resposta

As curvas \alpha e \bar{\alpha} são de Bertrand se, e somente se, existem a,b\in\mathbb{R} tais que
a\kappa+b\tau=1.

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