- Curvas de Bertrand: Duas curvas
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são ditas companheiras de Bertrand se suas retas normais coincidem em pontos correspondentes. Prove que
e
são curvas de Bertrand se, e somente se, existem constantes
tais que
.
Passo 1
O enunciado pede para provar uma equivalência: mostrar que duas curvas
e
são curvas de Bertrand (isto é, suas retas normais principais coincidem em pontos correspondentes) se, e somente se, existem constantes
tais que
para todo
, onde
e
são, respectivamente, a curvatura e a torção da curva
no ponto correspondente.
Informações e notação que vamos usar (pegar isto do enunciado e da definição de Bertrand):
-
é uma curva regular parametrizada por comprimento de arco . Denotar o triêto de Frenet por . -
é a curvatura e é a torção de . - “Retas normais coincidem em pontos correspondentes” significa que, para cada
, o ponto está sobre a reta normal principal em e a direção dessa normal é a mesma para ambas as curvas no ponto correspondente. - Objetivo: provar as duas implicações (i) se as curvas são de Bertrand então existem constantes
com ; (ii) se existem tais constantes então as curvas são de Bertrand.
Passo 2
Recordando as fórmulas de Frenet-Serret (isto é teoria que precisamos):
- Para
parametrizada por comprimento de arco valem
Aqui
é o vetor tangente unitário,
o vetor normal principal unitário e
o binormal unitário. A notação
) significa derivada em relação a
.
Essas fórmulas vão ser usadas para derivar expressões quando escrevermos em termos da base
.
Essas fórmulas vão ser usadas para derivar expressões quando escrevermos
Passo 3
Prova da implicação “Bertrand
existe relação linear com constantes”.
Hipótese:
e
são curvas de Bertrand, ou seja, as retas normais principais coincidem em pontos correspondentes. Isso significa que, para cada
, o ponto
pertence à reta que passa por
na direção
. Logo existe uma função escalar
tal que
Isto é apenas a parametrização do fato de que
está sobre a normal em
.
Diferenciando em relação a
e usando as fórmulas de Frenet-Serret:
Reagrupando os termos:
Agora vem uma observação crucial: em qualquer curva, o vetor tangente unitário da curva
é ortogonal à normal principal daquela curva. Pela hipótese de Bertrand as normais coincidem, isto é, a normal principal de
é
. Portanto o vetor
(que é paralelo ao tangente de
) deve ser ortogonal a
. Assim o coeficiente do vetor
na expressão de
deve ser zero. Logo
Portanto
é constante; chame-a de
:
Com isso podemos escrever, de forma mais simples,
Defina as funções auxiliares
assim
.
Passo 4
Continuando a partir de
: calcule a segunda derivada usando Frenet:
Substituindo
e
obtemos
Por outro lado, para uma curva parametrizada por
(aqui
é comprimento de arco da curva original
,
pode não estar parametrizada por comprimento de arco), vale a decomposição geral da aceleração:
onde
é a velocidade de
em relação a
,
é o tangente unitário,
e
são curvatura e normal de
. Note que
está no espaço gerado por
e
(porque
está nesse plano) e
pela hipótese de normal coincidente. Comparando as duas expressões para
, os componentes na direção
e na direção
devem ser proporcionais aos respectivos componentes de
. Assim existem coeficientes que tornam
Isto implica, subtraindo as duas igualdades multiplicadas convenientemente,
ou seja
Logo a razão
é constante em
. Denote essa constante por
. Assim
Voltando às definições de
e
:
Reescrevendo:
Portanto existem constantes
e
tais que, para todo
,
Isto provou a implicação desejada. (Observação técnica: tratou-se o caso genérico em que
não é identicamente nulo; se
ocorre uma situação degenerada onde
ou
e o enunciado se ajusta facilmente — a relação linear também aparece; para evitar complicações supõe-se normalmente
e
não nulas identicamente.)
Passo 5
Prova da implicação “existe relação linear
Bertrand”.
Agora suponha que existam constantes
tais que, para todo
,
Defina uma curva candidata
por
Isto é natural: estamos deslocando cada ponto de
ao longo da sua normal em uma distância constante
. Vamos mostrar que a normal principal de
coincide com
, isto é, as curvas formam um par de Bertrand.
Calcule a derivada:
Pela hipótese
temos
. Substituindo:
Portanto, quando
,
é paralelo ao vetor
, ou seja, o tangente de
está no plano gerado por
e
, e isto mostra que a normal de
é perpendicular a esse plano — portanto é
. Para ver isso de modo algébrico, calcule a segunda derivada:
Usando
e
obtemos
A decomposição acima mostra que a componente de
perpendicular a
está na direção de
; isto é exatamente a indicação de que a normal principal de
é
. Em outras palavras, as normais principais coincidem ponto a ponto e, portanto,
e
são curvas de Bertrand.
Resta checar regularidade (velocidade não nula): a velocidade
é
quando
, portanto não se anula; pontos com
são tratados por continuidade. Assim
é uma curva regular (em hipóteses usuais de não degenerescência) e a construção fornece uma curva companheira de Bertrand.
Passo 6
Conclusão sintética: mostrámos as duas implicações.
- Se
e são curvas de Bertrand então existe (distância constante ao longo da normal) e uma constante tal que . - Reciprocamente, se existem constantes
tais que , então a curva tem a mesma normal principal de em pontos correspondentes, logo são curvas de Bertrand.
Isto completa a prova da afirmação pedida.
Resposta
As curvas
e
são de Bertrand se, e somente se, existem
tais que