1. Mostre que uma curva regular é uma reta se, e somente se, sua curvatura \kappa é identicamente nula.

Passo 1

O que o enunciado pede e o que nos é dado.
  • Dado: uma curva regular \alpha:I\to\mathbb{R}^n. “Regular” significa que \alpha é duas vezes diferenciável (pelo menos) e que
\alpha'(t)\neq 0\quad\text{para todo }t\in I.
  • Definição usada da curvatura: seja T(t) o vetor tangente unitário em cada ponto, isto é
T(t)=\frac{\alpha'(t)}{\|\alpha'(t)\|}.
A curvatura em t é
\kappa(t)=\frac{\|T'(t)\|}{\|\alpha'(t)\|}.
(O equivalente é definir \kappa=\|dT/ds\| quando a curva está parametrizada por comprimento de arco s.)
  • Pedido: provar a equivalência lógica:
\text{``\(\alpha\) é uma reta''} \quad\Longleftrightarrow\quad \kappa(t)\equiv 0\ \text{em }I.é

Passo 2

Explicando as fórmulas e ideias que vamos usar (aulas rápidas para a prova).
  • O vetor velocidade é \alpha'(t). O vetor tangente unitário é T(t)=\alpha'(t)/\|\alpha'(t)\|. O vetor T'(t) mede como a direção da tangente muda quando variamos t. Se T'(t)=0 então a direção do vetor tangente não muda ali; se isso acontece para todo t, o vetor tangente é constante (mesma direção em toda curva).
  • A curvatura \kappa(t) é basicamente a norma da taxa de variação da direção (do tangente unitário) por unidade de comprimento: \kappa(t)=\|dT/ds\|. Com parâmetro arbitrário t obtém-se a relação
\kappa(t)=\frac{\|T'(t)\|}{\|\alpha'(t)\|},
porque d/ds=(1/\|\alpha'\|)d/dt.
  • Intuição prática para a prova: \kappa(t)=0 significa \|T'(t)\|=0, isto é T'(t)=0 e, portanto, T é constante. Se o vetor tangente unitário for constante, a velocidade tem sempre a mesma direção, logo a curva está contida numa reta. No outro sentido, se a curva é uma reta a direção é sempre a mesma, logo T' é zero e \kappa é zero.

Passo 3

Provar a implicação direta: se a curva \alpha é uma reta então \kappa\equiv 0.
  • Se \alpha é uma reta, então existe um ponto fixo p\in\mathbb{R}^n, um vetor unitário u\in\mathbb{R}^n e uma função escalar r:I\to\mathbb{R} tais que
\alpha(t)=p + r(t)\,u.
  • Diferenciando:
\alpha'(t)=r'(t)\,u,\qquad \alpha''(t)=r''(t)\,u.
Como \alpha'(t) é sempre proporcional a u, a direção de \alpha'(t) não muda quando t varia. Como a curva é regular, \alpha'(t)\neq 0 para todo t, logo r'(t)\neq 0 para todo t. Isso implica que o sinal de r'(t) é constante em I e, portanto, o vetor tangente unitário é constante:
T(t)=\frac{\alpha'(t)}{\|\alpha'(t)\|}=\frac{r'(t)u}{|r'(t)|}=\pm u,
com o sinal fixo em todo o intervalo (não pode trocar sem passar por r'=0, o que contradiz a regularidade).
  • Assim T'(t)=0 para todo t. Pela fórmula da curvatura:
\kappa(t)=\frac{\|T'(t)\|}{\|\alpha'(t)\|}=0.
Portanto, se a curva é uma reta então \kappa\equiv 0.

Passo 4

Provar a implicação recíproca: se \kappa\equiv 0 então a curva \alpha é uma reta.
  • Partimos de \kappa(t)=0 para todo t\in I. Pela definição,
\kappa(t)=\frac{\|T'(t)\|}{\|\alpha'(t)\|}=0
e como \|\alpha'(t)\|>0 (regularidade), segue que \|T'(t)\|=0. Logo
T'(t)=0\quad\text{para todo }t\in I.
  • Se a derivada de T é zero em todo o intervalo, então T é constante: existe um vetor unitário fixo u tal que
T(t)=u\quad\text{para todo }t\in I.
  • Como T(t)=\alpha'(t)/\|\alpha'(t)\|, podemos escrever
\alpha'(t)=\|\alpha'(t)\|\,u.
Aqui \|\alpha'(t)\| é uma função escalar v(t)>0. Integramos em t:
\alpha(t)-\alpha(t_0)=\int_{t_0}^{t}\alpha'(\tau)\,d\tau = \int_{t_0}^{t} v(\tau)\,u\,d\tau = \Bigl(\int_{t_0}^{t} v(\tau)\,d\tau\Bigr)\,u.
  • Assim
\alpha(t)=\alpha(t_0) + \Bigl(\int_{t_0}^{t} v(\tau)\,d\tau\Bigr)\,u,
o que mostra que \alpha(t) tem a forma ponto + escalar(t) \times vetor fixo u. Logo a imagem de \alpha está contida numa linha com direção u. Portanto \alpha é uma reta.

Passo 5

Resumo e comentário final (didático e motivador).
  • Relembrando de forma curta: \kappa\equiv0 \iff T'\equiv0 \iff T constante \iff velocidade tem direção fixa \iff curva é recta.
  • Intuição prática para a prova: curvatura mede quanto a direção da tangente “vira”. Se não vira nunca ( \kappa=0), a curva não curva — é reta. Se é reta, claro que não há virada e a curvatura é nula.

Resposta

A curva regular \alpha é uma reta se, e somente se, \kappa\equiv 0 em I.

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