- Mostre que uma curva regular é uma reta se, e somente se, sua curvatura
é identicamente nula.
Passo 1
O que o enunciado pede e o que nos é dado.
- Dado: uma curva regular
. “Regular” significa que é duas vezes diferenciável (pelo menos) e que
- Definição usada da curvatura: seja
o vetor tangente unitário em cada ponto, isto é
A curvatura em
é
(O equivalente é definir
quando a curva está parametrizada por comprimento de arco
.)
- Pedido: provar a equivalência lógica:
Passo 2
Explicando as fórmulas e ideias que vamos usar (aulas rápidas para a prova).
- O vetor velocidade é
. O vetor tangente unitário é . O vetor mede como a direção da tangente muda quando variamos . Se então a direção do vetor tangente não muda ali; se isso acontece para todo , o vetor tangente é constante (mesma direção em toda curva). - A curvatura
é basicamente a norma da taxa de variação da direção (do tangente unitário) por unidade de comprimento: . Com parâmetro arbitrário obtém-se a relação
porque
.
- Intuição prática para a prova:
significa , isto é e, portanto, é constante. Se o vetor tangente unitário for constante, a velocidade tem sempre a mesma direção, logo a curva está contida numa reta. No outro sentido, se a curva é uma reta a direção é sempre a mesma, logo é zero e é zero.
Passo 3
Provar a implicação direta: se a curva
é uma reta então
.
- Se
é uma reta, então existe um ponto fixo , um vetor unitário e uma função escalar tais que
- Diferenciando:
Como
é sempre proporcional a
, a direção de
não muda quando
varia. Como a curva é regular,
para todo
, logo
para todo
. Isso implica que o sinal de
é constante em
e, portanto, o vetor tangente unitário é constante:
com o sinal fixo em todo o intervalo (não pode trocar sem passar por
, o que contradiz a regularidade).
- Assim
para todo . Pela fórmula da curvatura:
Portanto, se a curva é uma reta então
.
Passo 4
Provar a implicação recíproca: se
então a curva
é uma reta.
- Partimos de
para todo . Pela definição,
e como
(regularidade), segue que
. Logo
- Se a derivada de
é zero em todo o intervalo, então é constante: existe um vetor unitário fixo tal que
- Como
, podemos escrever
Aqui
é uma função escalar
. Integramos em
:
- Assim
o que mostra que
tem a forma ponto + escalar(t)
vetor fixo
. Logo a imagem de
está contida numa linha com direção
. Portanto
é uma reta.
Passo 5
Resumo e comentário final (didático e motivador).
- Relembrando de forma curta:
constante velocidade tem direção fixa curva é recta. - Intuição prática para a prova: curvatura mede quanto a direção da tangente “vira”. Se não vira nunca (
), a curva não curva — é reta. Se é reta, claro que não há virada e a curvatura é nula.
Resposta
A curva regular
é uma reta se, e somente se,
em
.