Calcule as derivadas das seguintes funções.
g(x)=(tg x)^arctg x

Passo 1

O enunciado define a função
g(x) = (tan x)^arctan x
e pede sua derivada. O conteúdo aqui é a diferenciação de uma potência em que base e expoente dependem de x. Para resolver, usaremos diferenciação logarítmica junto com a regra do produto e a regra da cadeia.

Passo 2

Definimos y = g(x) e tomamos o logaritmo natural de ambos os lados:
ln y = arctan x ,cdot, lnl(tan xr)

Passo 3

Derivamos implicitamente em relação a x. No lado esquerdo, vem 1yy'. No lado direito, aplicamos a regra do produto:
y'y = ddxl(arctan xr),ln(tan x) + arctan x,ddxl(ln(tan x)r) = 11+x^2,ln(tan x) + arctan x,sec^2 xtan x

Passo 4

Isolando y' e voltando a g(x) no lugar de y, temos
y' = y ,l(ln(tan x)1+x^2 + arctan x,sec^2 xtan xr) = (tan x)^arctan x,l(ln(tan x)1+x^2 + arctan x,sec^2 xtan xr)

Resposta

g'(x) = (tan x)^arctan x,l(ln(tan x)1+x^2 + arctan x,sec^2 xtan xr)

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