Find an equation of the tangent to the curve at the given point by two methods: (a) without eliminating the parameter and (b) by first eliminating the parameter.
Passo 1
O enunciado fornece a curva parametrizada por
e pede a equação da reta tangente em
por dois métodos: (a) usando derivadas em relação a
e (b) eliminando o parâmetro e diferenciando implicitamente.
Passo 2
Método (a): derivada em função de
- Determinamos
tal que
Da primeira igualdade vem
, que satisfaz
.
2. Calculamos
2. Calculamos
- A inclinação da tangente é
Em
obtém-se
- Logo a reta tangente em
é
Passo 3
Método (b): eliminar o parâmetro e diferenciar implicitamente
- Da parametrização segue
- A curva em coordenadas cartesianas é
- Diferenciando implicitamente em relação a
:
- No ponto
tem-se
e novamente
Resposta
A equação da reta tangente em
é
que pode ser escrita também como