Find an equation of the tangent to the curve at the given point by two methods: (a) without eliminating the parameter and (b) by first eliminating the parameter.
x=tan theta, y=sec theta ; (1, raiz2)

Passo 1

O enunciado fornece a curva parametrizada por
x = tantheta, y = sectheta
e pede a equação da reta tangente em (1,raiz2) por dois métodos: (a) usando derivadas em relação a theta e (b) eliminando o parâmetro e diferenciando implicitamente.

Passo 2

Método (a): derivada em função de theta
  1. Determinamos theta0 tal que
tantheta0 = 1, sectheta0 = raiz2
Da primeira igualdade vem theta0 = pi/4, que satisfaz sec(pi/4)=raiz2.
2. Calculamos
dxdtheta = sec^2theta, dydtheta = secthetatantheta
  1. A inclinação da tangente é
m = dy/dthetadx/dtheta = sectheta,tanthetasec^2theta = tanthetasectheta = sintheta
Em theta0=pi/4 obtém-se
m = sinl(tfracpi4r) = raiz22
  1. Logo a reta tangente em (1,raiz2) é
y - raiz2 = raiz22,(x - 1)

Passo 3

Método (b): eliminar o parâmetro e diferenciar implicitamente
  1. Da parametrização segue
y = sectheta, x = tantheta Longrightarrow y^2 = sec^2theta = 1 + tan^2theta = 1 + x^2
  1. A curva em coordenadas cartesianas é
y^2 = x^2 + 1
  1. Diferenciando implicitamente em relação a x:
2y,dydx = 2x Longrightarrow dydx = xy
  1. No ponto (1,raiz2) tem-se
m = 1raiz2 = raiz22
e novamente
y - raiz2 = raiz22,(x - 1)

Resposta

A equação da reta tangente em (1,raiz2) é
boxedy - raiz2 = raiz22,(x - 1),
que pode ser escrita também como
y = raiz22,x + raiz22

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