Resolva os seguintes problemas de valor inicial usando a transformada de Laplace:
y^prime prime+3 y^prime+2 y=r(t), r(t)=1 se 0 e 0 se t> 1 y(0)=0, y^prime(0)=0

Passo 1

O enunciado pede para resolver por transformada de Laplace o IVP y''+3y'+2y=r(t), onde r(t)=1 em 0 e zero para t>1, com condições iniciais y(0)=0, y'(0)=0. Vamos usar a transformada de Laplace, a transformada de uma função descontínua por partes e o teorema do deslocamento no tempo.

Passo 2

Aplicando transformada de Laplace em ambos os lados. Como y(0)=y'(0)=0, temos
Ly''=s^2Y(s), Ly'=sY(s), Ly=Y(s)
A transformada de r(t) é
Lr(t)=integral0^1e^-st,dt=1-e^-ss=1s-e^-ss
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(s^2+3s+2)Y(s)=1s-e^-ss Longrightarrow Y(s)=1/s(s+1)(s+2)-e^-s/s(s+1)(s+2)

Passo 3

Agora separamos em duas parcelas:
1/s(s+1)(s+2)=1s(s+1)(s+2),
onde fazemos frações parciais. Encontramos
1s(s+1)(s+2)=1/2s-1s+1+1/2s+2

Passo 4

A inversa de Laplace dessa parte é
h(t)=L^-1l1s(s+1)(s+2)r=12 -e^-t+12e^-2t

Passo 5

Pela propriedade de deslocamento,
L^-1e^-sF(s)=u(t-1)f(t-1), então a segunda parcela $ \displaystyle -\frac{e^{-s}}s\cdot\frac1{(s+1)(s+2)} $ inverte para $ -u(t-1),h(t-1)$.

Passo 6

Finalmente a solução é
y(t)=h(t)-u(t-1)h(t-1)

Resposta

y(t)= 12 -e^-t+12e^-2t,&0<= t<1, 12 -e^-t+12e^-2t-l(12 -e^-(t-1)+12e^-2(t-1)r),&t>=1

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