A curvatura de um cabo entre dois postes consecutivos pode ser modelada por
y=a+b cdot cosh (1b x)
Sendo a e b constantes positivas. Encontre o comprimento de arco da curva anterior desde x=0 até x=b.

Passo 1

Temos a curva y = a + b coshl(tfrac1bxr) com a e b constantes positivas. Queremos o comprimento de arco de x=0 até x=b.

Passo 2

Como y = a + b cosh(tfracxb), pela regra da cadeia obtemos y' = b sinh(tfracxb) cdot tfrac1b = sinh(tfracxb).

Passo 3

Aplicamos a fórmula de comprimento de arco de y=f(x).
L = integral0^b raiz1 + l(y'(x)r)^2,dx

Passo 4

Substituímos y' = sinhl(tfracxbr) na integral:
L = integral0^b raiz1 + sinh^2l(tfracxbr),dx

Passo 5

Usamos a identidade hiperbólica 1 + sinh^2(u) = cosh^2(u), o que leva a:
L = integral0^b coshl(tfracxbr),dx

Passo 6

Fazemos a substituição u = tfracxb, então dx = b,du. Os limites vão de u=0 até u=1. Assim:
L = b integral0^1 cosh(u),du = b l[sinh(u)r]0^1 = bsinh(1)

Resposta

O comprimento de arco é bsinh(1).

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