Verifique se as sequências são crescentes, decrescentes ou não-monótonas. Determine também se são limitadas superiormente e inferiormente.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para verificar se a sequência
é crescente, decrescente ou não-monótona. Além disso, precisamos ver se ela é limitada superiormente e inferiormente. Vamos usar conceitos de Sequências Numéricas e entender o que significa cada termo para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se a sequência é crescente ou decrescente. Para isso, precisamos comparar o termo seguinte com o termo atual. Ou seja, vamos ver se
é maior ou menor que
.
Calculando:
Agora, vamos comparar
com
:
Para facilitar a comparação, vamos achar um denominador comum:
Simplificando o numerador:
Como o denominador
é sempre positivo (porque
é um número natural e os termos são positivos),
também é positivo. Isso significa que
para todo
. Portanto, a sequência é crescente.
Passo 3
Agora, vamos verificar se a sequência é limitada superiormente e limitada inferiormente.
Primeiro, vamos encontrar o limite da sequência conforme
cresce:
Isso nos diz que a sequência se aproxima de
conforme
aumenta. Agora, como a sequência é crescente e se aproxima de
,
é o limite superior.
Para a limitação inferior, observamos que quando
:
E como a sequência é crescente,
é o menor valor da sequência. Portanto, a sequência é limitada inferiormente por
e limitada superiormente por
.
Resposta
A sequência
é crescente, e ela é limitada inferiormente por
e limitada superiormente por
.