Verifique se as sequências são crescentes, decrescentes ou não-monótonas. Determine também se são limitadas superiormente e inferiormente.
n2 n+1

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para verificar se a sequência n2n+1 é crescente, decrescente ou não-monótona. Além disso, precisamos ver se ela é limitada superiormente e inferiormente. Vamos usar conceitos de Sequências Numéricas e entender o que significa cada termo para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se a sequência é crescente ou decrescente. Para isso, precisamos comparar o termo seguinte com o termo atual. Ou seja, vamos ver se n+12(n+1)+1 é maior ou menor que n2n+1.
Calculando:
an+1 = n+12(n+1)+1 = n+12n+3
Agora, vamos comparar an+1 com an:
an+1 - an = n+12n+3 - n2n+1
Para facilitar a comparação, vamos achar um denominador comum:
an+1 - an = (n+1)(2n+1) - n(2n+3)(2n+3)(2n+1)
Simplificando o numerador:
(n+1)(2n+1) = 2n^2 + 3n + 1
n(2n+3) = 2n^2 + 3n
an+1 - an = (2n^2 + 3n + 1) - (2n^2 + 3n)(2n+3)(2n+1) = 1(2n+3)(2n+1)
Como o denominador (2n+3)(2n+1) é sempre positivo (porque n é um número natural e os termos são positivos), 1(2n+3)(2n+1) também é positivo. Isso significa que an+1 > an para todo n. Portanto, a sequência é crescente.

Passo 3

Agora, vamos verificar se a sequência é limitada superiormente e limitada inferiormente.
Primeiro, vamos encontrar o limite da sequência conforme n cresce:
limn to infty n2n+1 = limn to infty 12 + 1n = 12
Isso nos diz que a sequência se aproxima de 12 conforme n aumenta. Agora, como a sequência é crescente e se aproxima de 12, 12 é o limite superior.
Para a limitação inferior, observamos que quando n = 1:
a1 = 12(1)+1 = 13
E como a sequência é crescente, 13 é o menor valor da sequência. Portanto, a sequência é limitada inferiormente por 13 e limitada superiormente por 12.

Resposta

A sequência n2n+1 é crescente, e ela é limitada inferiormente por 13 e limitada superiormente por 12.

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