Certa partícula tem velocidade, endo x o tempo, v(x)=A / x+B cdot x cdot sen(kx), sendo constantes A, B e k. Encontre as funções aceleração e deslocamento.

Passo 1

Vamos resumir o que a questão pede: temos a velocidade de uma partícula em função do tempo (que aqui chamamos de x) dada por v(x)=Ax+B,x,sin(kx). Precisamos encontrar a aceleração a(x), que é a derivada de v(x), e o deslocamento s(x), que é a integral de v(x).

Passo 2

Para achar a aceleração, aplicamos a definição a(x)=dfracdvdx. Derivando cada termo de v(x): o termo A/x gera -A/x^2, e o termo B,x,sin(kx) gera Bsin(kx)+B,x,kcos(kx) (usando a regra do produto e a derivada de sin(kx)).
a(x) = -Ax^2 + Bsin(kx) + Bk,xcos(kx)

Passo 3

Para obter o deslocamento, fazemos a integral s(x)=integral v(x),dx. Integramos termo a termo: a integral de A/x é Aln(x), e a integral de B,x,sin(kx) usamos integração por partes (ou a fórmula pronta integral xsin(kx)dx = -tfracxcos(kx)k + tfracsin(kx)k^2). Assim:
s(x)=Aln(x)+Bl(-xcos(kx)k+sin(kx)k^2r)+C

Passo 4

Aqui C é a constante de integração, que depende da condição inicial de posição.

Resposta

a(x) = -Ax^2 + Bsin(kx) + Bk,xcos(kx),
s(x) = Aln(x) - B,xcos(kx)k + B,sin(kx)k^2 + C

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