A curvatura k de uma curva parametrizada por r(t) é a medida da taxa de variação de sua direção, tomando esta variação em relação ao comprimento de arco s: k=|d Td s|. Use a regra da cadeia para mostrar que k(t)=|T^prime(t)|v(t), se v(t)=|r^prime(t)| neq 0. Calcule a curvatura da circunferência de centro ( 0,0 ) e raio a no ponto P=(0,1).

Passo 1

O enunciado define a curvatura como
k = |dTds|
onde T é o vetor tangente unitário da curva r(t) e s é o comprimento de arco. Pede-se então, usando a regra da cadeia, que mostremos
k(t)=|T'(t)|v(t),
onde v(t)=|r'(t)|neq0, e em seguida calculemos a curvatura de uma circunferência de raio a no ponto P=(0,1). Vamos usar a relação entre derivadas em t e em s e depois parametrizar a circunferência.

Passo 2

Como s é o comprimento de arco, temos
dsdt = |r'(t)| = v(t)
Por regra da cadeia,
dTds = dTdt,dtds = T'(t)v(t)
Tomando norma em ambos os lados,
k(t)=l|dTdsr| =|T'(t)|v(t)

Passo 3

Para a circunferência de centro em (0,0) e raio a, uma parametrização usual é
r(t) = l(acos t,;asin tr)
Dessa forma
r'(t) = l(-asin t,;acos tr),
então
v(t)=|r'(t)| = raiz(-asin t)^2+(acos t)^2 = a
O vetor tangente unitário fica
T(t)=r'(t)v(t) = l(-sin t,;cos tr)

Passo 4

Calculamos a derivada de T(t):
T'(t) = l(-cos t,;-,sin tr),
portanto
|T'(t)| = raiz(-cos t)^2+(-sin t)^2 = 1
Aplicando a fórmula da curvatura,
k(t)=|T'(t)|v(t) = 1a,
que é constante. No ponto P=(0,1) corresponde a t=pi/2, mas o valor permanece 1/a.

Resposta

A relação geral é
k(t)=|T'(t)|v(t)
Para a circunferência de raio a no ponto P=(0,1) temos
k = 1a

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