‘A curvatura também presta o seu papel na Física. A magnitude da força necessária para mover um objeto a uma velocidade constante ao longo de uma trajetória, de acordo com a segunda lei de Newton, é proporcional a curvatura da trajetória’. Explique matematicamente porque essa sentença é verdadeira. (Obs: Esta citação foi tirada de um artigo publicado no The American Mathematical Montlhy entitulado “Curvature in the Eighties” de Robert Osserman, outubro de 1990, página 731.)

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, para um objeto que se move com velocidade constante, a magnitude da força exigida pela segunda lei de Newton é proporcional à curvatura da trajetória. Vamos usar conceitos de cinemática vetorial (posição, velocidade, aceleração) e de geometria diferencial (versores tangente e normal, curvatura) para fazer isso.

Passo 2

Modele a posição do objeto por um vetor de função do tempo r(t). A velocidade é v(t)=r'(t) e, como a velocidade é constante em módulo, temos |v(t)|=v. Defina o versor tangente como
T(t)=v(t)v
A curvatura kappa(t) pode ser definida por
$$\kappa(t)=\left|\frac{\mathrm{d}\mathbf{T}}{\mathrm{d}s}\right|,
kappa(t)=|dTds|, éâé\kappa(t)=\frac{|\mathbf{T}’(t)|}{v}.$$

Passo 3

Calcule a aceleração vetorial:
$$\mathbf{a}(t)=\mathbf{v}’(t)=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\bigl(v\mathbf{T}(t)\bigr)=v,\mathbf{T}’(t).
a(t)=v'(t)=ddtl(vT(t)r)=v,T'(t) \mathbf{T}’(t)=\kappa(t),v,\mathbf{N}(t),$$
onde T'(t)=kappa(t),v,N(t), é o versor normal, temos
$$\mathbf{a}(t)=v\bigl(\kappa(t),v,\mathbf{N}(t)\bigr)=\kappa(t),v^2,\mathbf{N}(t).
N(t)óçãé|\mathbf{a}(t)|=\kappa(t),v^2.$$

Passo 4

Aplicando a segunda lei de Newton F=ma, obtemos
$$|\mathbf{F}|=m,|\mathbf{a}(t)|=m,\kappa(t),v^2.
|F|=m,|a(t)|=m,kappa(t),v^2 ãí|\mathbf{F}|\propto\kappa(t),$$
isto é, a força necessária é proporcional à curvatura da trajetória.

Resposta

|F|=m,v^2,kappa, logo |F|proptokappa

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