‘A curvatura também presta o seu papel na Física. A magnitude da força necessária para mover um objeto a uma velocidade constante ao longo de uma trajetória, de acordo com a segunda lei de Newton, é proporcional a curvatura da trajetória’. Explique matematicamente porque essa sentença é verdadeira. (Obs: Esta citação foi tirada de um artigo publicado no The American Mathematical Montlhy entitulado “Curvature in the Eighties” de Robert Osserman, outubro de 1990, página 731.)
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, para um objeto que se move com velocidade constante, a magnitude da força exigida pela segunda lei de Newton é proporcional à curvatura da trajetória. Vamos usar conceitos de cinemática vetorial (posição, velocidade, aceleração) e de geometria diferencial (versores tangente e normal, curvatura) para fazer isso.
Passo 2
Modele a posição do objeto por um vetor de função do tempo
. A velocidade é
e, como a velocidade é constante em módulo, temos
. Defina o versor tangente como
A curvatura
$$\kappa(t)=\left|\frac{\mathrm{d}\mathbf{T}}{\mathrm{d}s}\right|,
Passo 3
Calcule a aceleração vetorial:
$$\mathbf{a}(t)=\mathbf{v}’(t)=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\bigl(v\mathbf{T}(t)\bigr)=v,\mathbf{T}’(t).
onde
é o versor normal, temos
$$\mathbf{a}(t)=v\bigl(\kappa(t),v,\mathbf{N}(t)\bigr)=\kappa(t),v^2,\mathbf{N}(t).
Passo 4
Aplicando a segunda lei de Newton
, obtemos
$$|\mathbf{F}|=m,|\mathbf{a}(t)|=m,\kappa(t),v^2.
isto é, a força necessária é proporcional à curvatura da trajetória.