Verifique as identidades, sem utilizar componentes de vetor
(a) dd t|u(t)|^2=2 u(t) cdot u^prime(t)

Passo 1

Primeiro, lembramos que a norma ao quadrado de um vetor é igual ao seu produto escalar consigo mesmo. Ou seja, |u(t)|^2 = u(t) cdot u(t).

Passo 2

Em seguida, aplicamos a regra do produto para derivada de um produto escalar. Para duas funções vetoriais a(t) e b(t), vale:
ddtl(a(t)cdotb(t)r)=a'(t)cdotb(t)+a(t)cdotb'(t)
Aqui usamos a(t)=b(t)=u(t).

Passo 3

Substituindo em ddt(ucdotu), obtemos:
ddtl(u(t)cdotu(t)r)=u'(t)cdotu(t)+u(t)cdotu'(t)

Passo 4

Como o produto escalar é comutativo, os dois termos são iguais, então somam-se dando o fator 2:
u'(t)cdotu(t)+u(t)cdotu'(t)=2,u(t)cdotu'(t)

Resposta

dfracddt|u(t)|^2=2,u(t)cdotu'(t)

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