Uma partícula realiza um movimento helicoidal dado por
x & =cos (pi t) y & =sin (pi t) z & =t / 2
(a) Determine a direção tangente à esta trajetória no instante t=3 / 4. (b) Determine o plano ortogonal à trajetória da partícula em t=3 / 4. © Determine a projeção da aceleração desta partícula no plano normal.

Passo 1

Estamos lidando com uma partícula em movimento helicoidal descrito pelos parâmetros x=cos(pi t), y=sin(pi t) e z=t/2. O que precisamos é: (a) a direção tangente em t=3/4, (b) o plano ortogonal (plano normal) à trajetória nesse instante e © a projeção da aceleração nesse plano. Para isso vamos usar derivadas para obter velocidade e aceleração, e depois conceitos de plano normal e projeção de vetores.

Passo 2

Derivamos o vetor posição r(t)=(cos(pi t),sin(pi t),t/2) para obter a velocidade
r'(t)=(-pisin(pi t),;picos(pi t),;1/2)
Em t=3/4, temos sin(3pi/4)=raiz2/2 e cos(3pi/4)=-raiz2/2. Portanto
r'(3/4)=l(-piraiz22,,-piraiz22,,tfrac12r)
Se quisermos o vetor unitário, dividimos por |r'(3/4)|=raizpi^2+1/4.

Passo 3

Para achar o plano ortogonal (plano normal) usamos como normal o próprio vetor tangente n=r'(3/4) e o ponto
r(3/4)=(-raiz2/2,,raiz2/2,,3/8).
A equação geral do plano é ncdot((x,y,z)-r(3/4))=0. Isso dá:
-piraiz22l(x+tfracraiz22r) -piraiz22l(y-tfracraiz22r) +12l(z-tfrac38r)=0
Multiplicando por 16 para simplificar coeficientes, uma forma equivalente é
-8piraiz2,x;-8piraiz2,y;+8,z;-3;= 0

Passo 4

Derivamos novamente para obter a aceleração
r''(t)=(-pi^2cos(pi t),,-pi^2sin(pi t),,0)
Em t=3/4 fica
r''(3/4)=l(tfracpi^2raiz22,,-tfracpi^2raiz22,,0r)
Para projetar no plano normal usamos
aproj=a-(acdotT)T
Como acdotT=0 nesse ponto, vemos que a aceleração já é completamente ortogonal ao tangente, logo a projeção no plano normal é simplesmente r''(3/4).

Resposta

(a) A direção tangente em t=3/4 é
r'(3/4)=l(-tfracpiraiz22,,-tfracpiraiz22,,tfrac12r),
ou vetorial unitário
T(3/4)=1raizpi^2+1/4l(-tfracpiraiz22,,-tfracpiraiz22,,tfrac12r)
(b) O plano ortogonal (normal) à trajetória em t=3/4 pode ser escrito como
-piraiz22l(x+tfracraiz22r) -piraiz22l(y-tfracraiz22r) +12l(z-tfrac38r)=0,
equivalentemente
-8piraiz2,x;-8piraiz2,y;+8,z;-3=0
© A projeção da aceleração no plano normal em t=3/4 é
aproj=r''(3/4)=l(tfracpi^2raiz22,,-tfracpi^2raiz22,,0r)

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