Uma partícula realiza um movimento helicoidal dado por
(a) Determine a direção tangente à esta trajetória no instante
. (b) Determine o plano ortogonal à trajetória da partícula em
. © Determine a projeção da aceleração desta partícula no plano normal.
Passo 1
Estamos lidando com uma partícula em movimento helicoidal descrito pelos parâmetros
,
e
. O que precisamos é: (a) a direção tangente em
, (b) o plano ortogonal (plano normal) à trajetória nesse instante e © a projeção da aceleração nesse plano. Para isso vamos usar derivadas para obter velocidade e aceleração, e depois conceitos de plano normal e projeção de vetores.
Passo 2
Derivamos o vetor posição
para obter a velocidade
Em
, temos
e
. Portanto
Se quisermos o vetor unitário, dividimos por
.
Passo 3
Para achar o plano ortogonal (plano normal) usamos como normal o próprio vetor tangente
e o ponto
.
A equação geral do plano é . Isso dá:
A equação geral do plano é
Multiplicando por 16 para simplificar coeficientes, uma forma equivalente é
Passo 4
Derivamos novamente para obter a aceleração
Em
fica
Para projetar no plano normal usamos
Como
nesse ponto, vemos que a aceleração já é completamente ortogonal ao tangente, logo a projeção no plano normal é simplesmente
.
Resposta
(a) A direção tangente em
é
ou vetorial unitário
(b) O plano ortogonal (normal) à trajetória em
pode ser escrito como
equivalentemente
© A projeção da aceleração no plano normal em
é