Sobre a função f(x)=x e^x, responda:
(a) Quais os interceptos com os eixos e as assíntotas de f ?
(b) Ein quais intervalos f é crescente ou decrescente?
© Para que valores de x a função f tem un máximo ou mínimo local (se existir)?
(d) Em quais intervalos f é côncava para cina e para baixo? Diga a coordenadas x dos pontos de inflexão (se existir).
(e) Esboce o gráfico de f.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício sobre a função $ f(x) = x e^{x} $. A gente precisa descobrir várias coisas sobre essa função, como onde ela cruza os eixos, onde cresce ou decresce, seus máximos e mínimos, sua concavidade e até esboçar o gráfico. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo como derivadas e propriedades de funções exponenciais.

Passo 2

Parte (a): Interceptos com os eixos e assíntotas
Primeiro, vamos encontrar os interceptos com os eixos.
  • Intercepto com o eixo y: É o ponto onde $ x = 0 $. Substituindo na função:
    x = 0
    Então, o intercepto com o eixo y é o ponto $ (0, 0) $.
  • Intercepto com o eixo x: É o ponto onde $ f(x) = 0 $. Resolvendo:
    f(0) = 0 times e^0 = 0 times 1 = 0
    Como $ e^{x} $ nunca é zero, isso ocorre apenas quando $ x = 0 $. O intercepto com o eixo x também é $ (0, 0) $.
Agora, sobre as assíntotas. Uma assíntota é uma linha que a função se aproxima mas nunca toca. Vamos ver se existem:
A função $ f(x) = x e^{x} $ não tem assíntotas verticais ou horizontais. À medida que $ x $ vai para $ +\infty $, $ e^{x} $ cresce muito rápido, fazendo $ f(x) $ também ir para $ +\infty $. Para $ x $ indo para $ -\infty $, $ e^{x} $ tende a zero, mas multiplicado por $ x $ que vai para $ -\infty $, o comportamento é mais complexo, mas não há assíntotas horizontais claras.

Passo 3

Parte (b): Intervals de crescimento e decrescimento
Para saber onde a função está crescendo ou decrescendo, vamos analisar a primeira derivada $ f’(x) $.
Primeiro, derivamos $ f(x) = x e^{x} $ usando a regra do produto:
f'(x)
Agora, vamos ver onde $ f’(x) > 0 $ (crescente) e $ f’(x) < 0 $ (decrescente).
  • Crescente: $ e^{x}(1 + x) > 0 $
    Como $ e^{x} $ é sempre positivo, basta analisar $ 1 + x > 0 $, ou seja, $ x > -1 $.
  • Decrescente: $ e^{x}(1 + x) < 0 $
    Novamente, $ e^{x} > 0 $, então $ 1 + x < 0 $, ou seja, $ x < -1 $.
Então, a função é crescente para $ x > -1 $ e decrescente para $ x < -1 $.

Passo 4

Parte ©: Máximos e Mínimos Locais
Para encontrar máximos ou mínimos locais, analisamos onde a primeira derivada muda de sinal, ou seja, onde $ f’(x) = 0 $.
Já temos:
f'(x) = 0
Como $ e^{x} $ nunca é zero, resolvemos $ 1 + x = 0 $, então $ x = -1 $.
Agora, vamos ver se é máximo ou mínimo. Olhando para a primeira derivada:
  • Para $ x < -1 $, $ f’(x) < 0 $ (decrescente)
  • Para $ x > -1 $, $ f’(x) > 0 $ (crescente)
Então, a função muda de decrescente para crescente, indicando que em $ x = -1 $ há um mínimo local.
Vamos calcular o valor de $ f(-1) $:
f'(x) = e^x(1 + x) = 0
Portanto, o mínimo local é no ponto $ \left(-1, -\frac{1}{e}\right) $.

Passo 5

Parte (d): Concavidade e Pontos de Inflexão
Agora, vamos analisar a concavidade usando a segunda derivada $ f’’(x) $.
Primeiro, derivamos $ f’(x) $:
f''(x)
Analisamos onde $ f’’(x) > 0 $ (concava para cima) e $ f’’(x) < 0 $ (concava para baixo).
  • Concava para cima: $ e^{x}(2 + x) > 0 $
    $ e^{x} > 0 $ sempre, então $ 2 + x > 0 $ ou $ x > -2 $.
  • Concava para baixo: $ e^{x}(2 + x) < 0 $
    $ 2 + x < 0 $ ou $ x < -2 $.
Para encontrar o ponto de inflexão, resolvemos $ f’’(x) = 0 $:
f'(x)
Então, há um ponto de inflexão em $ x = -2 $. Vamos calcular $ f(-2) $:
f''(x) = ddx[e^x(1 + x)] = e^x(1 + x) + e^x = e^x(2 + x)
Portanto, o ponto de inflexão é $ \left(-2, -\frac{2}{e^{2}}\right) $.

Passo 6

Parte (e): Esboço do Gráfico
Para esboçar o gráfico de $ f(x) = x e^{x} $, consideramos as informações que encontramos:
  • Intercepto: $ (0, 0) $
  • Mínimo Local: $ \left(-1, -\frac{1}{e}\right) $
  • Ponto de Inflexão: $ \left(-2, -\frac{2}{e^{2}}\right) $
  • Crescente para $ x > -1 $
  • Decrescente para $ x < -1 $
  • Concavidade: Concava para baixo em $ x < -2 $ e para cima em $ x > -2 $
Com isso, o gráfico terá uma curva que desce até $ x = -1 $, atingindo o mínimo, depois cresce continuamente. A concavidade muda no ponto de inflexão em $ x = -2 $.

Resposta

Resumindo:
(a) A função cruza os eixos no ponto $ (0, 0) $ e não possui assíntotas.
(b) $ f(x) $ é crescente para $ x > -1 $ e decrescente para $ x < -1 $.
© Há um mínimo local em $ x = -1 $, no ponto $ \left(-1, -\frac{1}{e}\right) $.
(d) $ f(x) $ é côncava para baixo em $ x < -2 $ e côncava para cima em $ x > -2 $, com um ponto de inflexão em $ \left(-2, -\frac{2}{e^{2}}\right) $.
(e) O gráfico de $ f(x) = x e^{x} $ passa pelo ponto $ (0, 0) $, atinge um mínimo em $ \left(-1, -\frac{1}{e}\right) $, e muda sua concavidade em $ \left(-2, -\frac{2}{e^{2}}\right) $, crescendo para $ x > -1 $ e decrescendo para $ x < -1 $.

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