Sobre a função
, responda:
(a) Quais os interceptos com os eixos e as assíntotas de
?
(b) Ein quais intervalos
é crescente ou decrescente?
© Para que valores de
a função
tem un máximo ou mínimo local (se existir)?
(d) Em quais intervalos
é côncava para cina e para baixo? Diga a coordenadas
dos pontos de inflexão (se existir).
(e) Esboce o gráfico de
.
(a) Quais os interceptos com os eixos e as assíntotas de
(b) Ein quais intervalos
© Para que valores de
(d) Em quais intervalos
(e) Esboce o gráfico de
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício sobre a função $ f(x) = x e^{x} $. A gente precisa descobrir várias coisas sobre essa função, como onde ela cruza os eixos, onde cresce ou decresce, seus máximos e mínimos, sua concavidade e até esboçar o gráfico. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo como derivadas e propriedades de funções exponenciais.
Passo 2
Parte (a): Interceptos com os eixos e assíntotas
Primeiro, vamos encontrar os interceptos com os eixos.
-
Intercepto com o eixo y: É o ponto onde $ x = 0 $. Substituindo na função:Então, o intercepto com o eixo y é o ponto $ (0, 0) $.
-
Intercepto com o eixo x: É o ponto onde $ f(x) = 0 $. Resolvendo:Como $ e^{x} $ nunca é zero, isso ocorre apenas quando $ x = 0 $. O intercepto com o eixo x também é $ (0, 0) $.
Agora, sobre as assíntotas. Uma assíntota é uma linha que a função se aproxima mas nunca toca. Vamos ver se existem:
A função $ f(x) = x e^{x} $ não tem assíntotas verticais ou horizontais. À medida que $ x $ vai para $ +\infty $, $ e^{x} $ cresce muito rápido, fazendo $ f(x) $ também ir para $ +\infty $. Para $ x $ indo para $ -\infty $, $ e^{x} $ tende a zero, mas multiplicado por $ x $ que vai para $ -\infty $, o comportamento é mais complexo, mas não há assíntotas horizontais claras.
Passo 3
Parte (b): Intervals de crescimento e decrescimento
Para saber onde a função está crescendo ou decrescendo, vamos analisar a primeira derivada $ f’(x) $.
Primeiro, derivamos $ f(x) = x e^{x} $ usando a regra do produto:
Agora, vamos ver onde $ f’(x) > 0 $ (crescente) e $ f’(x) < 0 $ (decrescente).
-
Crescente: $ e^{x}(1 + x) > 0 $
Como $ e^{x} $ é sempre positivo, basta analisar $ 1 + x > 0 $, ou seja, $ x > -1 $. -
Decrescente: $ e^{x}(1 + x) < 0 $
Novamente, $ e^{x} > 0 $, então $ 1 + x < 0 $, ou seja, $ x < -1 $.
Então, a função é crescente para $ x > -1 $ e decrescente para $ x < -1 $.
Passo 4
Parte ©: Máximos e Mínimos Locais
Para encontrar máximos ou mínimos locais, analisamos onde a primeira derivada muda de sinal, ou seja, onde $ f’(x) = 0 $.
Já temos:
Como $ e^{x} $ nunca é zero, resolvemos $ 1 + x = 0 $, então $ x = -1 $.
Agora, vamos ver se é máximo ou mínimo. Olhando para a primeira derivada:
- Para $ x < -1 $, $ f’(x) < 0 $ (decrescente)
- Para $ x > -1 $, $ f’(x) > 0 $ (crescente)
Então, a função muda de decrescente para crescente, indicando que em $ x = -1 $ há um mínimo local.
Vamos calcular o valor de $ f(-1) $:
Portanto, o mínimo local é no ponto $ \left(-1, -\frac{1}{e}\right) $.
Passo 5
Parte (d): Concavidade e Pontos de Inflexão
Agora, vamos analisar a concavidade usando a segunda derivada $ f’’(x) $.
Primeiro, derivamos $ f’(x) $:
Analisamos onde $ f’’(x) > 0 $ (concava para cima) e $ f’’(x) < 0 $ (concava para baixo).
-
Concava para cima: $ e^{x}(2 + x) > 0 $
$ e^{x} > 0 $ sempre, então $ 2 + x > 0 $ ou $ x > -2 $. -
Concava para baixo: $ e^{x}(2 + x) < 0 $
$ 2 + x < 0 $ ou $ x < -2 $.
Para encontrar o ponto de inflexão, resolvemos $ f’’(x) = 0 $:
Então, há um ponto de inflexão em $ x = -2 $. Vamos calcular $ f(-2) $:
Portanto, o ponto de inflexão é $ \left(-2, -\frac{2}{e^{2}}\right) $.
Passo 6
Parte (e): Esboço do Gráfico
Para esboçar o gráfico de $ f(x) = x e^{x} $, consideramos as informações que encontramos:
- Intercepto: $ (0, 0) $
- Mínimo Local: $ \left(-1, -\frac{1}{e}\right) $
- Ponto de Inflexão: $ \left(-2, -\frac{2}{e^{2}}\right) $
- Crescente para $ x > -1 $
- Decrescente para $ x < -1 $
- Concavidade: Concava para baixo em $ x < -2 $ e para cima em $ x > -2 $
Com isso, o gráfico terá uma curva que desce até $ x = -1 $, atingindo o mínimo, depois cresce continuamente. A concavidade muda no ponto de inflexão em $ x = -2 $.
Resposta
Resumindo:
(a) A função cruza os eixos no ponto $ (0, 0) $ e não possui assíntotas.
(b) $ f(x) $ é crescente para $ x > -1 $ e decrescente para $ x < -1 $.
© Há um mínimo local em $ x = -1 $, no ponto $ \left(-1, -\frac{1}{e}\right) $.
(d) $ f(x) $ é côncava para baixo em $ x < -2 $ e côncava para cima em $ x > -2 $, com um ponto de inflexão em $ \left(-2, -\frac{2}{e^{2}}\right) $.
(e) O gráfico de $ f(x) = x e^{x} $ passa pelo ponto $ (0, 0) $, atinge um mínimo em $ \left(-1, -\frac{1}{e}\right) $, e muda sua concavidade em $ \left(-2, -\frac{2}{e^{2}}\right) $, crescendo para $ x > -1 $ e decrescendo para $ x < -1 $.