Qual o custo capitalizado dos seguintes planos, a uma taxa de
a.a.?
Plano B exigirá um gasto de
100.000$ a cada 10 anos, indefinidamente (com início no ano 10).
Plano B exigirá um gasto de
Passo 1
O enunciado pede o custo capitalizado (valor presente, em t = 0) de um plano que exige um gasto de
a cada 10 anos, indefinidamente, com o primeiro pagamento ocorrendo no ano 10. A taxa de juros é de
ao ano.
Resumo das informações que pegamos do enunciado:
- Pagamento periódico:
. - Periodicidade: a cada
anos (pagamentos em ). - Primeiro pagamento: em
. - Taxa de juros anual efetiva:
. - Pergunta: encontrar o custo capitalizado (valor presente em
) dessa série infinita de pagamentos.
Passo 2
Entendendo o que é “custo capitalizado” e como descontar um pagamento isolado:
Para trazer um pagamento futuro ocorrido no tempo
para o valor em
usa-se a fórmula do valor presente
Para trazer um pagamento futuro
onde
é a taxa de juros por período (aqui, por ano) e
é o número de anos até o pagamento.
No nosso caso cada pagamento em
tem valor presente
No nosso caso cada pagamento
Passo 3
Somando a série infinita — usar série geométrica:
O custo capitalizado é a soma dos valores presentes de todos os pagamentos:
O custo capitalizado é a soma dos valores presentes de todos os pagamentos:
Isto é uma série geométrica com razão
. A soma de uma série geométrica infinita com primeiro termo
e razão
é
No nosso caso o primeiro termo (para
) é
, portanto
Uma forma algébrica mais simples obtida dividindo numerador e denominador por
é
Essa última fórmula é prática: para pagamentos periódicos a cada
anos, com primeiro pagamento em
, a PV é
.
Passo 4
Substituir
e calcular
manualmente (passo a passo para poder fazer sem calculadora sofisticada):
Calcule potências por sucessivas multiplicações:
Agora aplicar a fórmula
Passo 5
Fazer a divisão e arredondar para centavos (usando vírgula como separador decimal):
Interpretação rápida: isso significa que, a
a.a., uma quantia única de aproximadamente
hoje é equivalente a pagar
a cada 10 anos para sempre, começando em 10 anos.