Qual o custo capitalizado dos seguintes planos, a uma taxa de 10 \% a.a.?
Plano B exigirá um gasto de \ 100.000$ a cada 10 anos, indefinidamente (com início no ano 10).

Passo 1

O enunciado pede o custo capitalizado (valor presente, em t = 0) de um plano que exige um gasto de \$100.000 a cada 10 anos, indefinidamente, com o primeiro pagamento ocorrendo no ano 10. A taxa de juros é de 10\% ao ano.
Resumo das informações que pegamos do enunciado:
  • Pagamento periódico: A = \$100.000.
  • Periodicidade: a cada 10 anos (pagamentos em t=10,20,30,\ldots).
  • Primeiro pagamento: em t=10.
  • Taxa de juros anual efetiva: i = 10\% = 0,10.
  • Pergunta: encontrar o custo capitalizado (valor presente em t=0) dessa série infinita de pagamentos.

Passo 2

Entendendo o que é “custo capitalizado” e como descontar um pagamento isolado:
Para trazer um pagamento futuro F ocorrido no tempo t para o valor em t=0 usa-se a fórmula do valor presente
\text{PV}=\frac{F}{(1+i)^{t}},
onde i é a taxa de juros por período (aqui, por ano) e t é o número de anos até o pagamento.
No nosso caso cada pagamento A=100000 em t=10,20,30,\ldots tem valor presente
\frac{100000}{(1+i)^{10}},\\ \frac{100000}{(1+i)^{20}},\\ \frac{100000}{(1+i)^{30}},\ldots

Passo 3

Somando a série infinita — usar série geométrica:
O custo capitalizado é a soma dos valores presentes de todos os pagamentos:
\text{PV}=\sum_{k=1}^{\infty}\frac{100000}{(1+i)^{10k}}.
Isto é uma série geométrica com razão r=(1+i)^{-10}. A soma de uma série geométrica infinita com primeiro termo a_1 e razão |r|<1 é
\sum_{k=0}^{\infty} a_1 r^{k}=\frac{a_1}{1-r}.
No nosso caso o primeiro termo (para k=1) é a_1=100000(1+i)^{-10}, portanto
\text{PV}=100000\cdot\frac{(1+i)^{-10}}{1-(1+i)^{-10}}.
Uma forma algébrica mais simples obtida dividindo numerador e denominador por (1+i)^{-10} é
\text{PV}=\frac{100000}{(1+i)^{10}-1}.
Essa última fórmula é prática: para pagamentos periódicos a cada n anos, com primeiro pagamento em n, a PV é A/((1+i)^{n}-1).

Passo 4

Substituir i=0,10 e calcular (1+i)^{10} manualmente (passo a passo para poder fazer sem calculadora sofisticada):
1+i = 1,10.
Calcule potências por sucessivas multiplicações:
(1,10)^{2}=1,21,
(1,10)^{4}=(1,21)^{2}=1,4641,
(1,10)^{8}=(1,4641)^{2}=2,14358881,
(1,10)^{10}=(1,10)^{8}\cdot(1,10)^{2}=2,14358881\cdot1,21=2,5937424601.
Agora aplicar a fórmula
\text{PV}=\frac{100000}{(1,10)^{10}-1}=\frac{100000}{2,5937424601-1}=\frac{100000}{1,5937424601}.

Passo 5

Fazer a divisão e arredondar para centavos (usando vírgula como separador decimal):
\text{PV}\approx\frac{100000}{1,5937424601}\approx 62.741,34.
Interpretação rápida: isso significa que, a 10\% a.a., uma quantia única de aproximadamente \$62.741,34 hoje é equivalente a pagar \$100.000 a cada 10 anos para sempre, começando em 10 anos.

Resposta

\$62.741,34

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