Duas alternativas mutuamente exclusivas e vida útil igual a 5 anos são consideradas. Alternativa A tem um custo inicial de \ 2.500 e benefícios anuais deí$746 . Alternativa B custa$ 6.000 e benefícios anuais deí$1664 . Se a TMA é deé8 % . Qual alternativa deve ser selecionada com base na análise do Valor Presente? R.áV P L_{A} 478,56 ; V P L_{B}=643,87$.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que ele pede.
  • Dados (pego do enunciado):
    • Vida útil: 5 anos.
    • Taxa mínima de atratividade (TMA): i=8\% = 0,08.
    • Alternativa A:
      • Custo inicial: C_A = \$\,2.500.
      • Benefício anual (renda): A_A = \$\,746 (por ano, para 5 anos).
    • Alternativa B:
      • Custo inicial: C_B = \$\,6.000.
      • Benefício anual: A_B = \$\,1.664 (por ano, para 5 anos).
  • O que o enunciado pede:
    • Calcular o Valor Presente Líquido (VPL) de cada alternativa usando a TMA de 8\%.
    • Decidir qual alternativa escolher com base no VPL (alternativas mutuamente exclusivas: escolher a de maior VPL).

Passo 2

Vou explicar a técnica que vou usar: transformar todos os fluxos de cada alternativa em valor presente e subtrair o custo inicial — isso é o Valor Presente Líquido (VPL).
  • Fórmula do valor presente de uma anuidade (renda anual A por n anos, com taxa i):
PV_{\text{rendas}} = A \cdot \frac{1 - (1+i)^{-n}}{i}.
  • Aqui:
    • A é o benefício anual (em reais/dólares por ano).
    • i é a taxa periódica decimal (por exemplo 0,08 para 8\%).
    • n é o número de períodos (aqui 5).
  • Intuição rápida: \dfrac{1 - (1+i)^{-n}}{i} é o fator que converte uma renda anual em seu equivalente em valor presente.
  • Depois, o VPL é:
VPL = PV_{\text{rendas}} - C_{\text{inicial}},
onde C_{\text{inicial}} é o desembolso inicial (positivo como custo).

Passo 3

Calcular o fator de valor presente da anuidade para i=0,08 e n=5. Primeiro calculo (1+i)^5.
  • Calcular passo a passo (1{+}i)^5 = (1{,}08)^5:
    • (1{,}08)^2 = 1{,}08 \times 1{,}08 = 1{,}1664.
    • (1{,}08)^3 = 1{,}1664 \times 1{,}08 = 1{,}259712.
    • (1{,}08)^4 = 1{,}259712 \times 1{,}08 = 1{,}36048896.
    • (1{,}08)^5 = 1{,}36048896 \times 1{,}08 = 1{,}4693280768.
  • Agora (1{+}i)^{-n} = (1{,}08)^{-5} = \dfrac{1}{1{,}4693280768} \approx 0{,}680583197.
  • Fator anuidade:
\frac{1 - (1+i)^{-n}}{i} = \frac{1 - 0{,}680583197}{0{,}08} = \frac{0{,}319416803}{0{,}08} \approx 3{,}9927100375.
Vou usar o fator aproximado \approx 3{,}9927100375 para os cálculos (arredondarei só no resultado final).

Passo 4

Calcular o VPL da Alternativa A.
  • Primeiro o valor presente das rendas de A:
PV_{A} = A_A \cdot \frac{1 - (1+i)^{-n}}{i} = 746 \times 3{,}9927100375 \approx 2{.}978{,}562\\ (\text{dólares}).ó
  • Cálculo manual rápido: 746 \times 3{,}9927100375 \approx 2978{,}562.
  • Agora o VPL:
VPL_{A} = PV_{A} - C_{A} = 2{.}978{,}562 - 2{.}500 = 478{,}562.
Arredondando para centavos: VPL_{A} \approx \$\,478{,}56.

Passo 5

Calcular o VPL da Alternativa B.
  • Valor presente das rendas de B:
PV_{B} = A_B \cdot \frac{1 - (1+i)^{-n}}{i} = 1{.}664 \times 3{,}9927100375 \approx 6{.}643{,}8727.
  • Cálculo manual: 1{.}664 \times 3{,}9927100375 \approx 6643{,}8727.
  • Agora o VPL:
VPL_{B} = PV_{B} - C_{B} = 6{.}643{,}8727 - 6{.}000 = 643{,}8727.
Arredondando para centavos: VPL_{B} \approx \$\,643{,}87.

Passo 6

Interpretação e decisão (regra prática):
  • Quando alternativas são mutuamente exclusivas e comparadas pelo VPL, escolhe-se a que tiver maior VPL.
  • Aqui VPL_{A} \approx \$\,478{,}56 e VPL_{B} \approx \$\,643{,}87.
  • Como 643{,}87 > 478{,}56, a melhor escolha pela análise do Valor Presente é a Alternativa B.
Força aí — dá para explicar isso rapidinho na prova: calcule o fator da anuidade com a fórmula, multiplica pela renda anual, subtrai o custo inicial e compara os VPLs. Pronto!

Resposta

VPL_{A} = \$\,478{,}56
VPL_{B} = \$\,643{,}87
Escolher: Alternativa B.

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