Dois métodos podem ser utilizados para produzir buchas. O método A custa \ 80.000 , inicialmente, e terá um valor recuperado deá$15.000 , depois de três anos. O custo operacional com esse método será deêéá$ 30.000 ao ano. O método B terá um custo de aquisição deéáçã$120.000 , com um custo operacional de$ 8.000 , ao ano, e um valor recuperado de$40.000 , depois do terceiro ano de operação. A uma taxa de juros deçã12 % ao ano, qual método deve ser utilizado com base em uma análise do valor presente. (Blank; Tarquin, 2008). R.:éáV P_{A}=-141.378 ; V P_{B}=-110.743$

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que ele pede.
  • Dados do método A:
    • Custo inicial: \$80.000 (pagamento no momento zero).
    • Custo operacional anual: \$30.000 por ano, durante 3 anos.
    • Valor recuperado (salvage) ao final de 3 anos: \$15.000.
  • Dados do método B:
    • Custo inicial: \$120.000.
    • Custo operacional anual: \$8.000 por ano, durante 3 anos.
    • Valor recuperado ao final de 3 anos: \$40.000.
  • Taxa de juros: i=12\% ao ano.
O enunciado pede: comparar os métodos com base no valor presente (VP) e indicar qual método deve ser utilizado. Portanto preciso calcular o valor presente total (custos negativos e recuperações positivas descontadas) de cada método para n=3 anos a i=12\%.

Passo 2

Vamos explicar as fórmulas que usarei (aqui é a parte didática, passo a passo, sem pular etapas).
  • Para descontar um valor futuro \,F que ocorre no ano n até o presente, usa-se a fórmula do valor presente de um montante:
P = \frac{F}{(1+i)^{n}}.
Aqui P é o valor presente, F é o valor no ano n, i é a taxa de juros por período (aqui 0,12) e n é o número de períodos (aqui 3).
  • Para transformar uma série uniforme de pagamentos anuais A (por exemplo, custos operacionais anuais) em um único valor presente, usamos o fator de valor presente de uma anuidade:
P = A \cdot \frac{1-(1+i)^{-n}}{i}.
Nesse fórmula:
  • A é o valor pago todo ano (positivo se é receita, negativo se é custo; como aqui são custos, vou tratá‑los com sinal negativo depois),
  • i é a taxa por período,
  • n é o número de períodos,
  • o fator \dfrac{1-(1+i)^{-n}}{i} é o multiplicador que transforma a anuidade em valor presente.
  • O valor presente total do projeto (VP total) é a soma de:
    • o custo inicial (já no tempo zero, com sinal negativo),
    • o valor presente dos custos operacionais anuais (negativo),
    • o valor presente do valor recuperado final (positivo).
Vou aplicar essas fórmulas com i=0,12 e n=3.

Passo 3

Calcular alguns fatores numéricos que vou reutilizar.
  • Primeiro calculemos (1+i)^3 com i=0,12:
(1+i)^2 = 1,12^2 = 1,2544,
(1+i)^3 = 1,2544 \times 1,12 = 1,404928.
  • O fator de desconto para um valor no ano 3 é
(1+i)^{-3} = \frac{1}{1,404928} \approx 0,711780249.
  • O fator de valor presente da anuidade (para n=3 e i=0,12) é
\frac{1-(1+i)^{-n}}{i} = \frac{1-0,711780249}{0,12} = \frac{0,288219751}{0,12} \approx 2,401831259.
Vou arredondar os resultados numéricos quando fizer multiplicações, mas manter precisão suficiente para o resultado final.

Passo 4

Calcular o valor presente dos custos operacionais (anuidade) para cada método.
  • Para o método A, A_A = 30.000. O valor presente dos custos operacionais é
PV_{A,\text{op}} = 30.000 \times 2,401831259 \approx 72.054,94.
(esse é o valor presente dos pagamentos anuais de \$30.000 por 3 anos).
  • Para o método B, A_B = 8.000. O valor presente dos custos operacionais é
PV_{B,\text{op}} = 8.000 \times 2,401831259 \approx 19.214,65.
Observação didática: multiplicamos o valor anual pelo fator de anuidade porque transformamos a sequência de pagamentos anuais em um único valor equivalente hoje.

Passo 5

Calcular o valor presente dos valores recuperados (salvage) ao final do ano 3.
  • Para o método A, salvage F_A=15.000. O valor presente do salvage é
PV_{A,\text{salv}} = \frac{15.000}{(1,12)^3} = 15.000 \times 0,711780249 \approx 10.676,70.
  • Para o método B, salvage F_B=40.000. O valor presente do salvage é
PV_{B,\text{salv}} = \frac{40.000}{(1,12)^3} = 40.000 \times 0,711780249 \approx 28.471,21.
Didática rápida: o salvage aparece no futuro (ano 3), então precisa ser descontado ao presente; por isso multiplicamos por (1+i)^{-3}.

Passo 6

Montar o VP total de cada método somando as parcelas (lembrando sinais: custos negativos, recuperações positivas).
  • Método A:
    • Custo inicial: -80.000.
    • PV dos custos operacionais: -72.054,94.
    • PV do salvage: +10.676,70.
Somando:
VP_A = -80.000 - 72.054,94 + 10.676,70 = -141.378,23\\ (\text{aprox.}).
  • Método B:
    • Custo inicial: -120.000.
    • PV dos custos operacionais: -19.214,65.
    • PV do salvage: +28.471,21.
Somando:
VP_B = -120.000 - 19.214,65 + 28.471,21 = -110.743,44\\ (\text{aprox.}).
Pequena explicação: o VP total é o custo equivalente hoje; quanto menos negativo (isto é, maior), melhor para a empresa. Aqui ambos dão VP negativo (significa custo líquido), mas com valores distintos.

Passo 7

Comparação e decisão final.
  • Temos \,VP_A \approx -141.378,23 e \,VP_B \approx -110.743,44.
  • Como -110.743,44 > -141.378,23 (ou seja, método B tem menor custo presente absoluto), o método B é a opção economicamente preferível segundo a análise pelo valor presente a 12\%.
Força aí — você já tem a técnica para aplicar isso em outras alternativas de projeto: transformar séries anuais com o fator anuidade e descontar recuperações futuras com (1+i)^{-n}.

Resposta

VP_A = -141378,23
VP_B = -110743,44
Método a ser utilizado: Método B (menor custo em valor presente).

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