Custo Um contêiner (na forma de um sólido retangular) deve possuir um volume de 480 pés cúbicos. Utilize multiplicadores de Lagrange para determinar as dimensões do contêiner desse volume que possua custo mínimo, se a construção do fundo custar $ 5 por pé quadrado e a das laterais e topo,
por pé quadrado.
Passo 1
No primeiro passo, resumimos o problema: projetar um contêiner retangular com volume
cujo custo seja mínimo, sabendo que o fundo custa $5/ft^2\ e as laterais e o topo custam $3/ft^2. Vamos usar multiplicadores de Lagrange para incorporar a restrição de volume.
Passo 2
Definimos as dimensões do contêiner por
(comprimento),
(largura) e
(altura). A restrição de volume é
.
Passo 3
Escrevemos a função custo e a função de restrição. A função custo total é dada por
e a restrição por
Passo 4
Aplicamos o método dos multiplicadores de Lagrange, montando o sistema
. Isso gera as equações:
Passo 5
Dividindo as duas primeiras igualdades (cancelando
) obtemos
.
Comparando a primeira e a terceira chegamos a
Comparando a primeira e a terceira chegamos a
Passo 6
Substituindo
e
na restrição
, temos
Logo
Resposta
As dimensões que minimizam o custo são
e
.