Custo Um contêiner (na forma de um sólido retangular) deve possuir um volume de 480 pés cúbicos. Utilize multiplicadores de Lagrange para determinar as dimensões do contêiner desse volume que possua custo mínimo, se a construção do fundo custar $ 5 por pé quadrado e a das laterais e topo, 5 por pé quadrado e a das laterais e topo, por pé quadrado.

Passo 1

No primeiro passo, resumimos o problema: projetar um contêiner retangular com volume 480 ft^3 cujo custo seja mínimo, sabendo que o fundo custa $5/ft^2\ e as laterais e o topo custam $3/ft^2. Vamos usar multiplicadores de Lagrange para incorporar a restrição de volume.

Passo 2

Definimos as dimensões do contêiner por x (comprimento), y (largura) e z (altura). A restrição de volume é xyz = 480.

Passo 3

Escrevemos a função custo e a função de restrição. A função custo total é dada por
C(x,y,z) = 8xy + 6xz + 6yz
e a restrição por
g(x,y,z) = xyz - 480 = 0

Passo 4

Aplicamos o método dos multiplicadores de Lagrange, montando o sistema nabla C = lambdanabla g. Isso gera as equações:
8y + 6z = lambda yz,
8x + 6z = lambda xz,
6x + 6y = lambda xy

Passo 5

Dividindo as duas primeiras igualdades (cancelando 8xyz) obtemos
x = y.
Comparando a primeira e a terceira chegamos a
8y + 6z = 12z Rightarrow z = tfrac43y

Passo 6

Substituindo x = y e z = tfrac43y na restrição xyz = 480, temos
tfrac43y^3 = 480 Rightarrow y^3 = 360 Rightarrow y = raiz[3]360
Logo
x = raiz[3]360, y = raiz[3]360, z = tfrac43raiz[3]360

Resposta

As dimensões que minimizam o custo são
x = y = raiz[3]360 approx 7,11 ft e
z = tfrac43raiz[3]360 approx 9,48 ft.

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