Maximize
Restrição :
Restrição :
Passo 1
A questão pede para maximizar a função
sujeita à restrição
. O conteúdo é otimização com restrição de igualdade e vamos precisar do método dos multiplicadores de Lagrange.
Passo 2
Definimos o multiplicador de Lagrange
e montamos a função
. A ideia é agregar a restrição ao objetivo para achar pontos críticos.
Passo 3
Calculamos as derivadas parciais e igualamos a zero: em linha,
,
,
, e
.
Passo 4
Das primeiras três condições temos
,
e
. Igualando pares, por exemplo
implica
. Para não zerar o produto
, concluímos que
.
Passo 5
Substituindo
na restrição
obtemos
, logo
. Portanto,
e
.
Passo 6
O ponto
é o candidato a máximo. Como a restrição define uma superfície compacta em que a função é contínua, esse é o máximo global. Avaliando:
.
Resposta
O valor máximo de
sob a restrição é 8, atingido em
.