Maximize f(x, y, z)=x y z
Restrição : x+y+z-6=0

Passo 1

A questão pede para maximizar a função f(x,y,z)=xyz sujeita à restrição x+y+z-6=0. O conteúdo é otimização com restrição de igualdade e vamos precisar do método dos multiplicadores de Lagrange.

Passo 2

Definimos o multiplicador de Lagrange lambda e montamos a função L(x,y,z,lambda)=xyz - lambda(x+y+z-6). A ideia é agregar a restrição ao objetivo para achar pontos críticos.

Passo 3

Calculamos as derivadas parciais e igualamos a zero: em linha, partialLpartial x=yz - lambda=0, partialLpartial y=xz - lambda=0, partialLpartial z=xy - lambda=0, e partialLpartiallambda= -(x+y+z-6)=0.

Passo 4

Das primeiras três condições temos yz=lambda, xz=lambda e xy=lambda. Igualando pares, por exemplo yz = xz implica z(y-x)=0. Para não zerar o produto xyz, concluímos que x=y=z.

Passo 5

Substituindo x=y=z na restrição x+y+z=6 obtemos 3x=6, logo x=2. Portanto, y=2 e z=2.

Passo 6

O ponto (2,2,2) é o candidato a máximo. Como a restrição define uma superfície compacta em que a função é contínua, esse é o máximo global. Avaliando: f(2,2,2)=2cdot2cdot2=8.

Resposta

O valor máximo de f(x,y,z) sob a restrição é 8, atingido em (x,y,z)=(2,2,2).

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