Minimize
Restrição :
Restrição :
Passo 1
O enunciado pede para minimizar a função
sujeita à restrição
. Esse é um problema de otimização com restrição linear, e vamos usar multiplicadores de Lagrange.
Passo 2
Construímos o Lagrangeano definindo
Em seguida, calculamos as derivadas parciais e igualamos a zero:
Passo 3
Do mesmo jeito, a derivada em relação a
recupera a restrição:
Como
$$
3\cdot\frac{\lambda}{2}=1\quad\Rightarrow\quad \lambda=\frac{2}{3},
x=y=z=\frac{\lambda}{2}=\frac{1}{3}.$$
Passo 4
Por fim, calculamos o valor mínimo:
$$
f\Bigl(\tfrac13,\tfrac13,\tfrac13\Bigr)=3\Bigl(\tfrac{1}{3}\Bigr)^2=\tfrac{1}{3}.$$
Resposta
O mínimo ocorre em (x,y,z)=(1/3,1/3,1/3) e vale 1/3.