Minimize f(x, y, z)=x^2+y^2+z^2
Restrição : x+y+z=1

Passo 1

O enunciado pede para minimizar a função f(x,y,z)=x^2+y^2+z^2 sujeita à restrição x+y+z=1. Esse é um problema de otimização com restrição linear, e vamos usar multiplicadores de Lagrange.

Passo 2

Construímos o Lagrangeano definindo
L(x,y,z,lambda)=x^2+y^2+z^2-lambda(x+y+z-1)
Em seguida, calculamos as derivadas parciais e igualamos a zero:
partial Lpartial x=2x-lambda=0Rightarrow x=lambda2,
partial Lpartial y=2y-lambda=0Rightarrow y=lambda2,
partial Lpartial z=2z-lambda=0Rightarrow z=lambda2

Passo 3

Do mesmo jeito, a derivada em relação a lambda recupera a restrição:
partial Lpartial lambda=-(x+y+z-1)=0Rightarrow x+y+z=1
Como x=y=z=lambda/2, substituímos na restrição:
$$
3\cdot\frac{\lambda}{2}=1\quad\Rightarrow\quad \lambda=\frac{2}{3},
3cdotlambda2=1Rightarrow lambda=23,
x=y=z=\frac{\lambda}{2}=\frac{1}{3}.$$

Passo 4

Por fim, calculamos o valor mínimo:
$$
f\Bigl(\tfrac13,\tfrac13,\tfrac13\Bigr)=3\Bigl(\tfrac{1}{3}\Bigr)^2=\tfrac{1}{3}.$$

Resposta

O mínimo ocorre em (x,y,z)=(1/3,1/3,1/3) e vale 1/3.

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