O custo de uma empresa é dado por C=((0,125 x^2+4 x+200) reais. O preço unitário de venda é p=49-x, onde x representa o número de unidades produzidas e vendidas.
O intervalo de crescimento e de decrescimento da função lucro.

Passo 1

Temos custo e preço unitário de venda. O conteúdo é análise de crescimento e decrescimento de função, e vamos usar derivadas: primeiro formamos a função lucro como receita menos custo, depois derivamos e analisamos o sinal.

Passo 2

Formamos a função lucro. A receita é dado por venda de x unidades a preço ,(p=49 - x), logo receita R(x)=xcdot(49-x). O custo é C(x)=0,125x^2+4x+200. Assim lucro L(x)=R(x)-C(x).

Passo 3

Calculamos L(x).
L(x)=x(49-x)-(0,125x^2+4x+200)

Passo 4

Simplificamos a expressão do lucro.
L(x)=49x-x^2-0,125x^2-4x-200=-1,125x^2+45x-200

Passo 5

Derivamos L(x) para encontrar os pontos críticos. Sabemos que pra quadrática ax^2+bx+c, L'(x)=2ax+b (aqui com sinal).
L'(x)=ddx(-1,125x^2+45x-200)=-2,25x+45

Passo 6

Encontramos o ponto crítico fazendo L'(x)=0.
-2,25x+45=0Rightarrow x=452,25=20

Passo 7

Analisamos o sinal de L'(x): para x<20, L'(x)>0 (lucro cresce); para x>20, L'(x)<0 (lucro decresce).

Resposta

A função lucro cresce no intervalo 0 e decresce em x>20 (até o domínio prático onde x<=49).

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