Os registros revelam que,
semanas após o primeiro surto de uma determinada gripe, aproximadamente
milhares de indivíduos contraíram a doença.
Quanto tempo após o surto ser detectado a taxa de aumento do número de pessoas infectadas começa a diminuir?
Quanto tempo após o surto ser detectado a taxa de aumento do número de pessoas infectadas começa a diminuir?
Passo 1
O enunciado nos dá a função logística
(em milhares de indivíduos) e pede em que instante a taxa de crescimento
deixa de aumentar. O conteúdo aqui é crescimento logístico e ponto de inflexão da curva.
Passo 2
Em funções logísticas, a taxa de crescimento atinge o máximo (e então começa a diminuir) no ponto de inflexão, que ocorre quando o número de infectados chega a metade da capacidade de saturação
. Aqui, o parâmetro
(capacidade máxima) é 20.
Passo 3
Para encontrar o instante
do ponto de inflexão, impomos
. Assim,
Resolvendo a equação:
$$1+19e{-1,2t*}=2\
19e{-1,2t}=1\
e{-1,2t}=\frac1{19}\
-1,2t^*=\ln\Bigl(\frac1{19}\Bigr)=-\ln(19)\
e{-1,2t}=\frac1{19}\
-1,2t^*=\ln\Bigl(\frac1{19}\Bigr)=-\ln(19)\
t^*=\frac{\ln(19)}{1,2}\approx\frac{2,9444}{1,2}\approx2,45semanas$$
Resposta
A taxa de aumento começa a diminuir cerca de 2,45 semanas após o surto ser detectado.