Os registros revelam que, t semanas após o primeiro surto de uma determinada gripe, aproximadamente Q(t)=201+19 e^-1,2 t milhares de indivíduos contraíram a doença.
Quanto tempo após o surto ser detectado a taxa de aumento do número de pessoas infectadas começa a diminuir?

Passo 1

O enunciado nos dá a função logística Q(t)=201+19e^-1,2t (em milhares de indivíduos) e pede em que instante a taxa de crescimento Q'(t) deixa de aumentar. O conteúdo aqui é crescimento logístico e ponto de inflexão da curva.

Passo 2

Em funções logísticas, a taxa de crescimento atinge o máximo (e então começa a diminuir) no ponto de inflexão, que ocorre quando o número de infectados chega a metade da capacidade de saturação K/2. Aqui, o parâmetro K (capacidade máxima) é 20.

Passo 3

Para encontrar o instante t^* do ponto de inflexão, impomos Q(t^*)=K/2=10. Assim,
10=201+19e^-1,2t^*
Resolvendo a equação:
$$1+19e{-1,2t*}=2\
19e{-1,2t}=1\
e{-1,2t
}=\frac1{19}\
-1,2t^*=\ln\Bigl(\frac1{19}\Bigr)=-\ln(19)\
t^*=\frac{\ln(19)}{1,2}\approx\frac{2,9444}{1,2}\approx2,45semanas$$

Resposta

A taxa de aumento começa a diminuir cerca de 2,45 semanas após o surto ser detectado.

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