O custo de uma empresa é dado por C=(3 x^2+5 x+75) reais. Quando o preço unitário de venda é R registram-se 10 unidades vendidas. Este número passa para 13 quando o preço unitário de venda é registram-se 10 unidades vendidas Este número passa para 13 quando o preço unitário de venda é . Admita que a equação de demanda é uma função afim.
Quantas unidades devem ser produzidas de modo que a função custo médio seja mínima?

Passo 1

O enunciado diz que o custo total é dado por C(x)=3x^2+5x+75 e pede o nível de produção x>0 que minimiza o custo médio. O conteúdo aqui é otimização de função de uma variável, mais precisamente encontrar o mínimo da função custo médio Cm(x)=C(x)x.

Passo 2

Para montar a função custo médio, dividimos C(x) por x:
Cm(x)=C(x)x=3x^2+5x+75x=3x+5+75x

Passo 3

Agora vamos aplicar o critério de otimização: derivamos Cm(x) em relação a x e igualamos a zero. Primeiro, lembrando que a derivada de x^-1 é -x^-2:
dCmdx=3-75cdot x^-2=3-75x^2

Passo 4

Igualamos a derivada a zero para achar o ponto crítico:
3-75x^2=0Longrightarrow3=75x^2Longrightarrow x^2=753=25Longrightarrow x=5

Passo 5

Para verificar que é mínimo, notamos que para x>0, a segunda derivada é
d^2Cmdx^2=150x^3>0,
o que confirma tratar-se de mínimo local (e global no domínio x>0).

Resposta

Devem produzir 5 unidades para que o custo médio seja mínimo.

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