O custo de uma empresa é dado por
reais. Quando o preço unitário de venda é
registram-se 10 unidades vendidas. Este número passa para 13 quando o preço unitário de venda é
. Admita que a equação de demanda é uma função afim.
Quantas unidades devem ser produzidas de modo que a função custo médio seja mínima?
Quantas unidades devem ser produzidas de modo que a função custo médio seja mínima?
Passo 1
O enunciado diz que o custo total é dado por
e pede o nível de produção
que minimiza o custo médio. O conteúdo aqui é otimização de função de uma variável, mais precisamente encontrar o mínimo da função custo médio
.
Passo 2
Para montar a função custo médio, dividimos
por
:
Passo 3
Agora vamos aplicar o critério de otimização: derivamos
em relação a
e igualamos a zero. Primeiro, lembrando que a derivada de
é
:
Passo 4
Igualamos a derivada a zero para achar o ponto crítico:
Passo 5
Para verificar que é mínimo, notamos que para
, a segunda derivada é
o que confirma tratar-se de mínimo local (e global no domínio
Resposta
Devem produzir 5 unidades para que o custo médio seja mínimo.