Determinar os extremos absolutos da função f(x)=-2 x^3+3 x^2-12 x-7 no intervalo -3 <= x <= 2.

Passo 1

Então, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar os extremos absolutos da função $ f(x) = -2x^{3} + 3x^{2} - 12x - 7 $ no intervalo de $ -3 \leq x \leq 2 $. Isso faz parte da matéria de Cálculo, mais especificamente de análise de funções. Para isso, vamos precisar calcular a derivada da função, encontrar seus pontos críticos e avaliar a função nos limites do intervalo.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a derivada da função $ f(x) $. A derivada nos dá a inclinação da função em cada ponto e nos ajuda a encontrar os pontos onde a inclinação é zero (pontos críticos), que são candidatos a máximos ou mínimos.
A derivada de $ f(x) = -2x^{3} + 3x^{2} - 12x - 7 $ é:
f(x)

Passo 3

Agora, vamos encontrar os pontos críticos resolvendo $ f’(x) = 0 $:
f'(x) = 0
Podemos simplificar a equação dividindo todos os termos por -6:
-6x^2 + 6x - 12 = 0
Vamos resolver essa equação quadrática usando a fórmula de Bhaskara:
x^2 - x + 2 = 0
Como o discriminante é negativo ($ \sqrt{-7} $), não temos soluções reais. Isso significa que a função não possui pontos críticos dentro do intervalo.

Passo 4

Como não há pontos críticos reais, os extremos absolutos devem estar nos pontos finais do intervalo. Vamos calcular $ f(x) $ para $ x = -3 $ e $ x = 2 $:
Para $ x = -3 $:
f(x)
Para $ x = 2 $:
x = -3

Passo 5

Com os valores calculados nos pontos finais, podemos identificar o extremo máximo e o extremo mínimo:
  • $ f(-3) = 110 $ é o máximo absoluto no intervalo.
  • $ f(2) = -35 $ é o mínimo absoluto no intervalo.

Resposta

Os extremos absolutos da função $ f(x) = -2x^{3} + 3x^{2} - 12x - 7 $ no intervalo $ -3 \leq x \leq 2 $ são:
  • Máximo absoluto de 110 em $ x = -3 $
  • Mínimo absoluto de -35 em $ x = 2 $

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