Determinar os extremos absolutos da função
no intervalo
.
Passo 1
Então, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar os extremos absolutos da função $ f(x) = -2x^{3} + 3x^{2} - 12x - 7 $ no intervalo de $ -3 \leq x \leq 2 $. Isso faz parte da matéria de Cálculo, mais especificamente de análise de funções. Para isso, vamos precisar calcular a derivada da função, encontrar seus pontos críticos e avaliar a função nos limites do intervalo.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a derivada da função $ f(x) $. A derivada nos dá a inclinação da função em cada ponto e nos ajuda a encontrar os pontos onde a inclinação é zero (pontos críticos), que são candidatos a máximos ou mínimos.
A derivada de $ f(x) = -2x^{3} + 3x^{2} - 12x - 7 $ é:
Passo 3
Agora, vamos encontrar os pontos críticos resolvendo $ f’(x) = 0 $:
Podemos simplificar a equação dividindo todos os termos por -6:
Vamos resolver essa equação quadrática usando a fórmula de Bhaskara:
Como o discriminante é negativo ($ \sqrt{-7} $), não temos soluções reais. Isso significa que a função não possui pontos críticos dentro do intervalo.
Passo 4
Como não há pontos críticos reais, os extremos absolutos devem estar nos pontos finais do intervalo. Vamos calcular $ f(x) $ para $ x = -3 $ e $ x = 2 $:
Para $ x = -3 $:
Para $ x = 2 $:
Passo 5
Com os valores calculados nos pontos finais, podemos identificar o extremo máximo e o extremo mínimo:
- $ f(-3) = 110 $ é o máximo absoluto no intervalo.
- $ f(2) = -35 $ é o mínimo absoluto no intervalo.
Resposta
Os extremos absolutos da função $ f(x) = -2x^{3} + 3x^{2} - 12x - 7 $ no intervalo $ -3 \leq x \leq 2 $ são:
- Máximo absoluto de 110 em $ x = -3 $
- Mínimo absoluto de -35 em $ x = 2 $