O vetor posição de uma partícula de massa é dada pela função do tempo em um plano , com dado em metros e em segundos. Em relação à origem, (a) determine o momento angular da partícula como função do tempo, e (b) encontre o torque ao qual a partícula está submetida.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma partícula com massa de cujo vetor posição em função do tempo é dado por . O exercício pede para a gente encontrar:
(a) o momento angular da partícula em função do tempo;
(b) o torque que está agindo sobre a partícula.
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de mecânica clássica, especificamente de movimento circular e dinâmica rotacional. Vamos precisar calcular a velocidade, o momento angular () e o torque ().
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a velocidade da partícula. A velocidade é a derivada do vetor posição em relação ao tempo:
Calculando cada componente:
Então, a velocidade é:
Passo 3
Agora, vamos calcular o momento angular. O momento angular é dado por:
Onde é o momento linear. Primeiro, encontramos :
Agora, calculamos o produto vetorial :
Como as componentes $ \hat{k} $ são zero, o momento angular será na direção $ \hat{k} $: