O vetor posição de uma partícula de massa 3,00 kg é dada pela função do tempo r(t)=4,0 t^2 i+(2,0 t+6,0 t^2) j em um plano x y, com r dado em metros e t em segundos. Em relação à origem, (a) determine o momento angular da partícula como função do tempo, e (b) encontre o torque ao qual a partícula está submetida.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma partícula com massa de 3,00 , kg cujo vetor posição em função do tempo é dado por r(t) = 4,0 t^2 i + (2,0 t + 6,0 t^2) j. O exercício pede para a gente encontrar:
(a) o momento angular da partícula em função do tempo;
(b) o torque que está agindo sobre a partícula.
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de mecânica clássica, especificamente de movimento circular e dinâmica rotacional. Vamos precisar calcular a velocidade, o momento angular ( L) e o torque ( tau).

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a velocidade da partícula. A velocidade é a derivada do vetor posição em relação ao tempo:
v(t) = dr(t)dt = ddt(4,0 t^2 i + (2,0 t + 6,0 t^2) j)
Calculando cada componente:
vx(t) = ddt(4,0 t^2) = 8,0 t , i
vy(t) = ddt(2,0 t + 6,0 t^2) = 2,0 + 12,0 t , j
Então, a velocidade é:
v(t) = 8,0 t i + (2,0 + 12,0 t) j

Passo 3

Agora, vamos calcular o momento angular L(t). O momento angular é dado por:
L = r times p
Onde p = m v é o momento linear. Primeiro, encontramos p:
p(t) = m v(t) = 3,00 , kg times (8,0 t i + (2,0 + 12,0 t) j) = 24,0 t i + (6,0 + 36,0 t) j , kg cdot m/s
Agora, calculamos o produto vetorial r times p:
L(t) = r(t) times p(t)
r(t) = 4,0 t^2 i + (2,0 t + 6,0 t^2) j
L(t) = i & j & k 4,0 t^2 & 2,0 t + 6,0 t^2 & 0 24,0 t & 6,0 + 36,0 t & 0
Como as componentes $ \hat{k} $ são zero, o momento angular será na direção $ \hat{k} $:
k
k
Lz(t) = (4,0 t^2)(6,0 + 36,0 t) - (2,0 t + 6,0 t^2)(24,0 t)
Portanto, o vetor momento angular é:
Lz(t) = 24,0 t^2 + 144,0 t^3 - 48,0 t^2 - 144,0 t^3

Passo 4

Agora, vamos encontrar o torque tau que está agindo sobre a partícula. O torque é a taxa de variação do momento angular em relação ao tempo:
tau = dLdt
Usando o momento angular que encontramos:
L(t) = -24,0 t^2 k
Calculando a derivada:
tau(t) = ddt(-24,0 t^2 k) = -48,0 t k , N cdot m

Resposta

(a) O momento angular da partícula em função do tempo é L(t) = -24,0 t^2 k , kg cdot m^2/s.
(b) O torque ao qual a partícula está submetida é tau(t) = -48,0 t k , N cdot m.

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