Resolva os problemas de valor inicial utilizando transformada de Laplace.
y^prime prime+4 y=de

Passo 1

O exercício pede para resolver a EDO com impulso y''+4y=de, sujeita a y(0)=8 e y'(0)=0, usando transformada de Laplace. Vamos precisar das propriedades: Ly''=s^2Y(s)-sy(0)-y'(0), Ly=Y(s) e Lde.

Passo 2

Aplicando a transformada de Laplace em ambos os lados, obtemos:
Ly''+4Ly=Lde

Passo 3

Agrupando em função de Y(s):
Y(s)(s^2+4)=8s+e^-pi simplies Y(s)=8ss^2+4+e^-pi ss^2+4

Passo 4

Agora fazemos a transformada inversa de cada termo:
  • Para tfrac8ss^2+4, temos 8cos(2t).
  • Para tfrace^-pi ss^2+4, usamos o deslocamento de Heaviside:
L^-1le^-pi ss^2+4r=u(t-pi),L^-1l1s^2+4r|tto t-pi=tfrac12u(t-pi)sinl(2(t-pi)r)

Resposta

y(t)=8cos(2t)+tfrac12,u(t-pi)sinl(2(t-pi)r)

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