Um estudo de eficiência realizada no turno da manhã (das 8 h até 12 h ) revela que um operário que inicia sua jornada às 8 h produziu Q=(-t^3+ 4,5 t^2+15 t ) unidades mais tarde. A produtividade consiste na taxa de variação instantânea de Q em relação ao tempo t.
Em que momento no turno da manhã a produtividade deste operário será máxima?

Passo 1

O enunciado diz que a produção acumulada em função do tempo desde 8 h até 12 h é dada por
Q(t) = -t^3 + 4,5,t^2 + 15,t
com t em horas a partir das 8 h. Precisamos encontrar quando a produtividade, isto é, a taxa instantânea de variação de Q(t), será máxima, aplicando conceitos de derivada e extremos em intervalo fechado.

Passo 2

Primeiro calculamos a produtividade como a derivada de Q(t):
Q'(t) = ddtl(-t^3 + 4,5t^2 + 15tr) = -3t^2 + 9t + 15

Passo 3

Para achar os candidatos a máximo de Q'(t) no intervalo [0,4], obtemos os pontos críticos resolvendo Q''(t)=0. Calculamos
Q''(t) = ddtl(-3t^2 + 9t + 15r) = -6t + 9
e então
-6t + 9 = 0 implies t = 96 = 1,5 horas

Passo 4

Agora avaliamos Q'(t) em t=0, t=1,5 e t=4:
Q'(0)=15,
Q'(1,5) = -3(1,5)^2 + 9(1,5) + 15 = -6,75 + 13,5 + 15 = 21,75,
Q'(4) = -3cdot16 + 9cdot4 + 15 = -48 + 36 + 15 = 3
O maior valor é Q'(1,5)=21,75.

Passo 5

Concluímos que a produtividade é máxima quando t=1,5 horas após as 8 h, ou seja, às 9 h 30 min.

Resposta

A produtividade atinge o máximo às 9 h 30 min.

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