O custo de uma empresa é dado por C=(x^3+5 x+162) reais. O preço unitário de venda é p=180-2 x, onde x representa o número de unidades produzidas e vendidas.
Quantas unidades devem ser produzidas de modo que a função custo médio seja mínima?

Passo 1

O enunciado pede para determinar o número de unidades produzidas, denotado por x, que minimiza o custo médio. O conteúdo envolve definições de custo médio e técnicas de otimização usando derivadas.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a função custo médio. Sabendo que o custo total é C(x)=x^3+5x+162, temos:
Cm(x)=C(x)x=x^3+5x+162x=x^2+5+162x

Passo 3

Em seguida, calculamos a derivada de Cm(x) em relação a x e igualamos a zero para encontrar pontos críticos:
Cm'(x)=2x-162x^2

Passo 4

Igualando Cm'(x)=0 resulta em:
2x-162x^2=0

Passo 5

Multiplicando ambos os lados por x^2 obtemos:
2x^3-162=0

Passo 6

Logo,
x^3=81Longrightarrow x=raiz[3]81

Passo 7

Para confirmar que este ponto é mínimo, analisamos a segunda derivada:
Cm''(x)=2+324x^3

Passo 8

Como Cm''(x)>0 para x>0, o ponto encontrado é de mínimo.

Resposta

As unidades que minimizam o custo médio são x=raiz[3]81, ou cerca de 4,33 unidades.

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