O custo de uma empresa é dado por
reais. O preço unitário de venda é
, onde
representa o número de unidades produzidas e vendidas.
Quantas unidades devem ser produzidas de modo que a função custo médio seja mínima?
Quantas unidades devem ser produzidas de modo que a função custo médio seja mínima?
Passo 1
O enunciado pede para determinar o número de unidades produzidas, denotado por
, que minimiza o custo médio. O conteúdo envolve definições de custo médio e técnicas de otimização usando derivadas.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever a função custo médio. Sabendo que o custo total é
, temos:
Passo 3
Em seguida, calculamos a derivada de
em relação a
e igualamos a zero para encontrar pontos críticos:
Passo 4
Igualando
resulta em:
Passo 5
Multiplicando ambos os lados por
obtemos:
Passo 6
Logo,
Passo 7
Para confirmar que este ponto é mínimo, analisamos a segunda derivada:
Passo 8
Como
para
, o ponto encontrado é de mínimo.
Resposta
As unidades que minimizam o custo médio são
, ou cerca de 4,33 unidades.