Resolva a equação abaixo, identificando-a primeiro e, no caso em que as condições iniciais forem dadas, encontre a solução particular.
(x ln x) d y=y d x ; x=3, y=4

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma equação diferencial que relaciona x, y e suas derivadas. O enunciado é:
(x ln x) , dy = y , dx com x=3, y=4
Vamos resolver essa equação diferencial e encontrar a solução que passa por (3, 4). Para isso, vamos precisar usar técnicas de separação de variáveis e integração.

Passo 2

Primeiro, vamos reorganizar a equação para separar as variáveis y e x. Vamos dividir ambos os lados por y (x ln x):
dyy = dxx ln x
Agora, as variáveis estão separadas, o que facilita a integração.

Passo 3

Vamos integrar ambos os lados da equação. O lado esquerdo é bem direto:
integral dyy = ln |y| + C1
No lado direito, temos:
integral dxx ln x
Aqui, fazemos uma substituição para facilitar a integração. Seja u = ln x, então du = 1x dx. Assim, a integral fica:
integral 1u , du = ln |u| + C2 = ln |ln x| + C2

Passo 4

Juntando as integrais, temos:
ln |y| = ln |ln x| + C
Onde C = C2 - C1 é uma constante arbitrária. Podemos simplificar isso exponenciando ambos os lados:
y = K ln x
Onde K = e^C é uma nova constante.

Passo 5

Agora, vamos aplicar a condição inicial x=3 e y=4 para encontrar o valor de K:
4 = K ln 3 Rightarrow K = 4ln 3
Então, a solução particular é:
y = 4ln 3 ln x

Resposta

A solução da equação diferencial com a condição inicial dada é:
y = 4ln 3 ln x

Exercícios relacionados