Resolva a equação abaixo, identificando-a primeiro e, no caso em que as condições iniciais forem dadas, encontre a solução particular.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma equação diferencial que relaciona
,
e suas derivadas. O enunciado é:
Vamos resolver essa equação diferencial e encontrar a solução que passa por
. Para isso, vamos precisar usar técnicas de separação de variáveis e integração.
Passo 2
Primeiro, vamos reorganizar a equação para separar as variáveis
e
. Vamos dividir ambos os lados por
:
Agora, as variáveis estão separadas, o que facilita a integração.
Passo 3
Vamos integrar ambos os lados da equação. O lado esquerdo é bem direto:
No lado direito, temos:
Aqui, fazemos uma substituição para facilitar a integração. Seja
, então
. Assim, a integral fica:
Passo 4
Juntando as integrais, temos:
Onde
é uma constante arbitrária. Podemos simplificar isso exponenciando ambos os lados:
Onde
é uma nova constante.
Passo 5
Agora, vamos aplicar a condição inicial
e
para encontrar o valor de
:
Então, a solução particular é:
Resposta
A solução da equação diferencial com a condição inicial dada é: