Obtenha, se houver, os pontos de máximos, mínimos ou sela das superfícies das funções
, utilizando o critério da segunda derivada.
Passo 1
Ok, vamos começar! A gente vai encontrar os pontos de máximos, mínimos ou sela da função
usando o critério da segunda derivada. Isso envolve cálculo multivariável, onde precisamos das derivadas parciais da função para determinar esses pontos especiais.
Passo 2
Primeiro, a gente precisa achar os pontos críticos da função. Isso acontece onde as primeiras derivadas parciais em relação a
e
são iguais a zero.
Vamos calcular as derivadas:
Passo 3
Agora, igualamos as derivadas a zero para encontrar os pontos críticos:
Substituindo
na segunda equação:
Isso nos dá:
As soluções são
ou
, o que dá
.
Passo 4
Agora, vamos encontrar os valores de
correspondentes:
- Se
, então . - Se
, então . - Se
, então .
Então, os pontos críticos são
,
e
.
Passo 5
Agora, vamos usar o critério da segunda derivada para classificar esses pontos. Precisamos das derivadas de segunda ordem:
O discriminante
é dado por:
Passo 6
Vamos calcular
para cada ponto crítico:
-
Ponto (0,0):Como
, o ponto é um ponto de sela. -
Ponto (1,1):Além disso,
, então o ponto é um mínimo local. -
Ponto (-1,-1):Também aqui,
, então o ponto é um mínimo local.
Resposta
Os pontos críticos são
que é um ponto de sela, e
e
que são mínimos locais.