Obtenha, se houver, os pontos de máximos, mínimos ou sela das superfícies das funções f: R^2 R, z=f(x, y), utilizando o critério da segunda derivada.
z=14 x^4+14 y^4-x y+1

Passo 1

Ok, vamos começar! A gente vai encontrar os pontos de máximos, mínimos ou sela da função usando o critério da segunda derivada. Isso envolve cálculo multivariável, onde precisamos das derivadas parciais da função para determinar esses pontos especiais.

Passo 2

Primeiro, a gente precisa achar os pontos críticos da função. Isso acontece onde as primeiras derivadas parciais em relação a fx = partial zpartial x = x^3 - y e fy = partial zpartial y = y^3 - x são iguais a zero.
Vamos calcular as derivadas:

Passo 3

Agora, igualamos as derivadas a zero para encontrar os pontos críticos:
x^3 - y = 0 Rightarrow y = x^3
y^3 - x = 0 Rightarrow y^3 = x
Substituindo (x^3)^3 = x Rightarrow x^9 = x na segunda equação:
x^9 - x = 0 Rightarrow x(x^8 - 1) = 0
Isso nos dá:
As soluções são ou , o que dá .

Passo 4

Agora, vamos encontrar os valores de correspondentes:
  • Se , então .
  • Se , então .
  • Se , então .
Então, os pontos críticos são , e .

Passo 5

Agora, vamos usar o critério da segunda derivada para classificar esses pontos. Precisamos das derivadas de segunda ordem:
fxx = partial^2 zpartial x^2 = 3x^2
fyy = partial^2 zpartial y^2 = 3y^2
fxy = partial^2 zpartial x partial y = -1
O discriminante D = fxxfyy - (fxy)^2 é dado por:

Passo 6

Vamos calcular fxx = 0, fyy = 0, fxy = -1 para cada ponto crítico:
  1. Ponto (0,0):
    D = (0)(0) - (-1)^2 = -1 < 0
    fxx = 3(1)^2 = 3, fyy = 3(1)^2 = 3, fxy = -1
    Como D = (3)(3) - (-1)^2 = 9 - 1 = 8 > 0 , o ponto fxx = 3(-1)^2 = 3, fyy = 3(-1)^2 = 3, fxy = -1 é um ponto de sela.
  2. Ponto (1,1):
    D = (3)(3) - (-1)^2 = 9 - 1 = 8 > 0
    Além disso, , então o ponto é um mínimo local.
  3. Ponto (-1,-1):
    Também aqui, , então o ponto é um mínimo local.

Resposta

Os pontos críticos são que é um ponto de sela, e e que são mínimos locais.

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