O custo
de manutenção de teares segue uma distribuição normal,
. Durante muito tempo, o parâmetro
tem sido adotado como igual a 200. Suspeita-se que esse parâmetro aumentou, e só nos interessa saber se o novo parâmetro é superior a 210. Assim, queremos planejar um teste em que
(quando
) e
(quando
).
a) Qual deve ser o tamanho da amostra?
a) Qual deve ser o tamanho da amostra?
Passo 1
Vamos entender o que o exercício está nos pedindo. Temos que calcular o tamanho da amostra necessário para realizar um teste de hipótese sobre o custo de manutenção de teares, que segue uma distribuição normal. O parâmetro médio
estava sendo considerado como 200, mas suspeita-se que ele aumentou para mais de 210. Queremos testar essa hipótese com um nível de significância
(probabilidade de erro tipo I) e um poder do teste de
(probabilidade de detectar um aumento, ou seja,
).
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de teste de hipóteses para médias de uma distribuição normal, além de utilizar a fórmula para calcular o tamanho da amostra com base nos valores de
,
, e na diferença esperada entre as médias.
Passo 2
Primeiro, vamos definir as hipóteses do teste:
- Hipótese nula (
): - Hipótese alternativa (
): (estamos testando se a média aumentou para mais de 200, mas segundo o enunciado, estará comparando com 210)
No entanto, conforme o enunciado, queremos saber se
é superior a 210. Então, ajustando as hipóteses:
- Hipótese nula (
): - Hipótese alternativa (
):
Passo 3
Para determinar o tamanho da amostra, usamos a seguinte fórmula:
Onde:
-
é o valor crítico da distribuição normal correspondente ao nível de significância . -
é o valor crítico correspondente ao poder do teste ( ). -
é a diferença mínima que queremos detectar, ou seja, . -
é a variância da distribuição, que não foi fornecida diretamente, mas geralmente assume-se que seja conhecida ou estimada a partir dos dados.
Passo 4
Vamos encontrar os valores de
e
:
-
Para
, buscamos o valor tal que . Consultando a tabela da distribuição normal, encontramos . -
Para
, ou seja, um poder de , buscamos tal que . Consultando a tabela, encontramos .
Passo 5
Agora, substituímos os valores na fórmula do tamanho da amostra:
No entanto, como a variância
não foi fornecida, precisamos de mais informações ou uma estimativa para prosseguir. Supondo que
seja conhecida, podemos continuar com os cálculos.
Passo 6
Multiplicando os valores de
:
Então,
Passo 7
Para finalizar, precisamos definir o valor da variância
. Se não for dado, geralmente utiliza-se uma estimativa com base em estudos anteriores ou dados históricos.
Assumindo que
seja conhecida, o tamanho da amostra
pode ser calculado multiplicando
pela variância.
Resposta
O tamanho da amostra necessário é dado por: