O custo X de manutenção de teares segue uma distribuição normal, X sim N(mu, Lambda^2). Durante muito tempo, o parâmetro mu tem sido adotado como igual a 200. Suspeita-se que esse parâmetro aumentou, e só nos interessa saber se o novo parâmetro é superior a 210. Assim, queremos planejar um teste em que alpha=5 % (quando mu=200 ) e beta=10 % (quando mu=210 ).
a) Qual deve ser o tamanho da amostra?

Passo 1

Vamos entender o que o exercício está nos pedindo. Temos que calcular o tamanho da amostra necessário para realizar um teste de hipótese sobre o custo de manutenção de teares, que segue uma distribuição normal. O parâmetro médio mu estava sendo considerado como 200, mas suspeita-se que ele aumentou para mais de 210. Queremos testar essa hipótese com um nível de significância alpha = 5% (probabilidade de erro tipo I) e um poder do teste de 1 - beta = 90% (probabilidade de detectar um aumento, ou seja, beta = 10%).
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de teste de hipóteses para médias de uma distribuição normal, além de utilizar a fórmula para calcular o tamanho da amostra com base nos valores de alpha, beta, e na diferença esperada entre as médias.

Passo 2

Primeiro, vamos definir as hipóteses do teste:
  • Hipótese nula ( H0): mu = 200
  • Hipótese alternativa ( H1): mu > 200 (estamos testando se a média aumentou para mais de 200, mas segundo o enunciado, estará comparando com 210)
No entanto, conforme o enunciado, queremos saber se mu é superior a 210. Então, ajustando as hipóteses:
  • Hipótese nula ( H0): mu = 200
  • Hipótese alternativa ( H1): mu > 210

Passo 3

Para determinar o tamanho da amostra, usamos a seguinte fórmula:
n = ( zalpha + zbetade
Onde:
  • zalpha é o valor crítico da distribuição normal correspondente ao nível de significância alpha.
  • zbeta é o valor crítico correspondente ao poder do teste ( 1 - beta).
  • de é a diferença mínima que queremos detectar, ou seja, 210 - 200 = 10.
  • sigma^2 é a variância da distribuição, que não foi fornecida diretamente, mas geralmente assume-se que seja conhecida ou estimada a partir dos dados.

Passo 4

Vamos encontrar os valores de zalpha e zbeta:
  • Para alpha = 5%, buscamos o valor z tal que P(Z > z) = 0.05. Consultando a tabela da distribuição normal, encontramos z0.05 approx 1.645.
  • Para beta = 10%, ou seja, um poder de 90%, buscamos z tal que P(Z < z) = 0.90. Consultando a tabela, encontramos z0.10 approx 1.282.

Passo 5

Agora, substituímos os valores na fórmula do tamanho da amostra:
n = ( 1.645 + 1.28210 )^2 sigma^2
No entanto, como a variância sigma^2 não foi fornecida, precisamos de mais informações ou uma estimativa para prosseguir. Supondo que sigma seja conhecida, podemos continuar com os cálculos.

Passo 6

Multiplicando os valores de z:
1.645 + 1.282 = 2.927
Então,
n = ( 2.92710 )^2 sigma^2 = (0.2927)^2 sigma^2 approx 0.0857 sigma^2

Passo 7

Para finalizar, precisamos definir o valor da variância sigma^2. Se não for dado, geralmente utiliza-se uma estimativa com base em estudos anteriores ou dados históricos.
Assumindo que sigma^2 seja conhecida, o tamanho da amostra n pode ser calculado multiplicando 0.0857 pela variância.

Resposta

O tamanho da amostra necessário é dado por:
n = ( 1.645 + 1.28210 )^2 sigma^2 approx 0.0857 sigma^2

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