Em um teste de múltipla escolha, a probabilidade do aluno saber a resposta é p. Havendo m escolhas, se ele souber a resposta, responderá corretamente com probabilidade 1, se ele não souber, responderá corretamente com probabilidade 1m. Qual é a probabilidade de que ele saiba a resposta, dado que a pergunta foi respondida corretamente?

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma questão de probabilidade aqui. O enunciado diz que num teste de múltipla escolha, a probabilidade de um aluno saber a resposta é . Se ele souber, acerta sempre; se não souber, acerta com chance , onde é o número de opções. A pergunta é: qual a probabilidade dele saber a resposta, sabendo que ele acertou?
Aqui, vamos usar probabilidade condicional e o Teorema de Bayes para resolver isso. Vamos precisar entender como calcular a probabilidade de um evento com base em outra condição.

Passo 2

Primeiro, vamos definir os eventos:
  • : o aluno sabe a resposta.
  • : o aluno acerta a resposta.
Queremos encontrar , ou seja, a probabilidade de ele saber a resposta dado que ele acertou.

Passo 3

Segundo o Teorema de Bayes, temos:
P(K | C) = P(C | K) cdot P(K)P(C)
Aqui:
  • é a probabilidade de acertar dado que ele sabe, que é 1.
  • , a probabilidade de ele saber a resposta.

Passo 4

Agora, precisamos calcular P(C) = P(C | K) cdot P(K) + P(C | neg K) cdot P(neg K) , que é a probabilidade de acertar de qualquer jeito. Isso pode acontecer de duas formas:
  1. Ele sabe e acerta.
  2. Ele não sabe e acerta por sorte.
Então,
P(C) = 1 cdot p + 1m cdot (1 - p) = p + 1 - pm
Sabendo que:
Então,

Passo 5

Agora, voltando ao Teorema de Bayes:
P(K | C) = 1 cdot pp + 1 - pm = pp + 1 - pm
Vamos simplificar essa expressão:
Multiplicando numerador e denominador por P(K | C) = p cdot mp cdot m + 1 - p :

Resposta

A probabilidade de o aluno saber a resposta, dado que ele acertou, é:
P(K | C) = p cdot m1 - p + p cdot m

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