Em um teste de múltipla escolha, a probabilidade do aluno saber a resposta é
. Havendo
escolhas, se ele souber a resposta, responderá corretamente com probabilidade 1, se ele não souber, responderá corretamente com probabilidade
. Qual é a probabilidade de que ele saiba a resposta, dado que a pergunta foi respondida corretamente?
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma questão de probabilidade aqui. O enunciado diz que num teste de múltipla escolha, a probabilidade de um aluno saber a resposta é
. Se ele souber, acerta sempre; se não souber, acerta com chance
, onde
é o número de opções. A pergunta é: qual a probabilidade dele saber a resposta, sabendo que ele acertou?
Aqui, vamos usar probabilidade condicional e o Teorema de Bayes para resolver isso. Vamos precisar entender como calcular a probabilidade de um evento com base em outra condição.
Passo 2
Primeiro, vamos definir os eventos:
-
: o aluno sabe a resposta. -
: o aluno acerta a resposta.
Queremos encontrar
, ou seja, a probabilidade de ele saber a resposta dado que ele acertou.
Passo 3
Segundo o Teorema de Bayes, temos:
Aqui:
-
é a probabilidade de acertar dado que ele sabe, que é 1. -
, a probabilidade de ele saber a resposta.
Passo 4
Agora, precisamos calcular
, que é a probabilidade de acertar de qualquer jeito. Isso pode acontecer de duas formas:
- Ele sabe e acerta.
- Ele não sabe e acerta por sorte.
Então,
Sabendo que:
Então,
Passo 5
Agora, voltando ao Teorema de Bayes:
Vamos simplificar essa expressão:
Multiplicando numerador e denominador por
:
Resposta
A probabilidade de o aluno saber a resposta, dado que ele acertou, é: