As médias dos diâmetros de uma amostra aleatória de 200 rolamentos esféricos produzidos por certa máquina, durante uma semana, apresentam a média de 0,824 polegada e o desvio padrão de 0,042 polegada. Determinar os intervalo de confiança de 95 % de confiança para o diâmetro médio de todos os rolamentos esféricos. Interpretar os intervalos de confiança.
Resp a) 0,824 pm 0,006 pol

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício que fala sobre os diâmetros de rolamentos esféricos produzidos por uma máquina. A média da nossa amostra de 200 rolamentos é de 0,824 polegada, e o desvio padrão é de 0,042 polegada. O que a gente precisa fazer é encontrar o intervalo de confiança de 95% para o diâmetro médio de todos os rolamentos produzidos. Ou seja, queremos ter certeza de que o valor real da média está dentro de um certo intervalo baseado na nossa amostra. Para isso, vamos precisar usar conceitos de estatística, especificamente sobre intervalos de confiança e distribuição normal.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é um intervalo de confiança. Basicamente, ele nos dá uma faixa de valores na qual esperamos que a média verdadeira da população esteja, com um certo nível de confiança. No nosso caso, queremos 95% de confiança.
Para calcular esse intervalo, usamos a fórmula:
Intervalo de Confiança = barx pm z times ( sigmaraizn ) ç
Onde:
  • é a média da amostra (0,824 polegada).
  • é o valor crítico correspondente ao nível de confiança desejado.
  • é o desvio padrão da amostra (0,042 polegada).
  • é o tamanho da amostra (200).

Passo 3

Agora, precisamos encontrar o valor de para um intervalo de confiança de 95%. Esse valor é baseado na distribuição normal padrão e é aproximadamente 1,96.

Passo 4

Vamos calcular o erro padrão da média ( E = z times ( sigmaraizn ) = 1,96 times ( 0,042raiz200 ) ) usando a fórmula:
raiz200 approx 14,14
Calculando o denominador primeiro:
E = 1,96 times ( 0,04214,14 ) approx 1,96 times 0,00297 approx 0,0058
Então:
Arredondando, temos polegada.

Passo 5

Com o erro padrão calculado, podemos agora estabelecer o intervalo de confiança:
Intervalo de Confiança = 0,824 pm 0,006 ç
Isso significa que o intervalo vai de:
0,824 - 0,006 = 0,818 po<=gadas
até
0,824 + 0,006 = 0,830 po<=gadas

Resposta

a)

Explicação Adicional

O intervalo de confiança de a polegadas significa que temos 95% de confiança de que a média verdadeira do diâmetro de todos os rolamentos produzidos pela máquina está dentro dessa faixa. Em outras palavras, se repetíssemos esse processo várias vezes, aproximadamente 95% dos intervalos calculados dessa forma conteriam a média real.

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