As médias dos diâmetros de uma amostra aleatória de 200 rolamentos esféricos produzidos por certa máquina, durante uma semana, apresentam a média de 0,824 polegada e o desvio padrão de 0,042 polegada. Determinar os intervalo de confiança de
de confiança para o diâmetro médio de todos os rolamentos esféricos. Interpretar os intervalos de confiança.
Resp a) 0,824
Resp a) 0,824
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício que fala sobre os diâmetros de rolamentos esféricos produzidos por uma máquina. A média da nossa amostra de 200 rolamentos é de 0,824 polegada, e o desvio padrão é de 0,042 polegada. O que a gente precisa fazer é encontrar o intervalo de confiança de 95% para o diâmetro médio de todos os rolamentos produzidos. Ou seja, queremos ter certeza de que o valor real da média está dentro de um certo intervalo baseado na nossa amostra. Para isso, vamos precisar usar conceitos de estatística, especificamente sobre intervalos de confiança e distribuição normal.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é um intervalo de confiança. Basicamente, ele nos dá uma faixa de valores na qual esperamos que a média verdadeira da população esteja, com um certo nível de confiança. No nosso caso, queremos 95% de confiança.
Para calcular esse intervalo, usamos a fórmula:
Onde:
-
é a média da amostra (0,824 polegada). -
é o valor crítico correspondente ao nível de confiança desejado. -
é o desvio padrão da amostra (0,042 polegada). -
é o tamanho da amostra (200).
Passo 3
Agora, precisamos encontrar o valor de
para um intervalo de confiança de 95%. Esse valor é baseado na distribuição normal padrão e é aproximadamente 1,96.
Passo 4
Vamos calcular o erro padrão da média (
) usando a fórmula:
Calculando o denominador primeiro:
Então:
Arredondando, temos
polegada.
Passo 5
Com o erro padrão calculado, podemos agora estabelecer o intervalo de confiança:
Isso significa que o intervalo vai de:
até
Resposta
a)
Explicação Adicional
O intervalo de confiança de
a
polegadas significa que temos 95% de confiança de que a média verdadeira do diâmetro de todos os rolamentos produzidos pela máquina está dentro dessa faixa. Em outras palavras, se repetíssemos esse processo várias vezes, aproximadamente 95% dos intervalos calculados dessa forma conteriam a média real.