A função
nos dá a quantidade de ketchup (em quilogramas) produzido em uma fábrica de molho no instante t (em horas) de determinado dia. Nestas condições, escolha o significa
(a) O tempo que leva para produzir 4 quilogramas de ketchup.
(b) A quantidade de ketchup produzida durante as primeiras 4 horas.
(c) A taxa de variação média da produção de ketchup nas primeiras 4 horas.
(d) A taxa instantânea de produção em
4.
(b) A quantidade de ketchup produzida durante as primeiras 4 horas.
(c) A taxa de variação média da produção de ketchup nas primeiras 4 horas.
(d) A taxa instantânea de produção em
Passo 1
O enunciado dá que a função
representa a quantidade de ketchup (em quilogramas) produzida no instante
(em horas). Pede-se interpretar o que significa
As alternativas são:
(a) O tempo que leva para produzir quilogramas de ketchup.
(b) A quantidade de ketchup produzida durante as primeiras horas.
(c) A taxa de variação média da produção de ketchup nas primeiras horas.
(d) A taxa instantânea de produção em .
(a) O tempo que leva para produzir
(b) A quantidade de ketchup produzida durante as primeiras
(c) A taxa de variação média da produção de ketchup nas primeiras
(d) A taxa instantânea de produção em
Passo 2
Primeiro lembrar o que significam
e
.
-
é a quantidade acumulada de ketchup (em kg) presente no instante . Por exemplo, significaria que às horas já há kg produzidos (ou acumulados). -
é a derivada de em relação a ; ela dá a taxa instantânea de produção em , isto é, quantos quilogramas por hora estão sendo produzidos naquele instante. Um jeito simples de pensar: se (exemplo), então significa produção constante de kg/h.
Passo 3
Agora a relação matemática-chave: o Teorema Fundamental do Cálculo (ou Teorema da Variação Líquida) diz que, para uma função
diferenciável,
Interpretação física dessa fórmula: integrar a taxa instantânea
ao longo do intervalo
soma todas as pequenas contribuições de produção ao longo do tempo e resulta na variação total da quantidade entre
e
.
Passo 4
Aplicando com
e
obtemos:
O lado direito é exatamente a quantidade de ketchup produzida durante as primeiras
horas: é a diferença entre o estoque no instante
horas e o estoque inicial em
horas. Se
, então a integral dá diretamente a quantidade total produzida nas primeiras
horas; se
, a integral dá o ganho (produção líquida) nesse período.
Passo 5
Comparando com as alternativas:
- (b) diz “A quantidade de ketchup produzida durante as primeiras
horas.” Esta descrição coincide com , que acabamos de mostrar ser igual à integral, portanto (b) parece correta.
Passo 6
Verificando por que as outras estão erradas:
- (a) “O tempo que leva para produzir
quilogramas.” Para obter um tempo é preciso resolver uma equação do tipo para . A integral é um número com unidade de quilogramas (é quantidade), não um tempo, então (a) é incorreta. Exemplo: se a integral for isso significa kg produzidos, não “8 horas” nem “tempo”. - (c) “A taxa de variação média da produção nas primeiras
horas.” A taxa média no intervalo é dada por
Portanto a integral sozinha dá o total produzido, e não a taxa média; para obter a taxa média é preciso dividir por
. Logo (c) é incorreta.
- (d) “A taxa instantânea de produção em
.” Essa taxa é , um valor pontual. A integral é uma soma ao longo do tempo; não é igual a . Por exemplo, se constante, então mas a integral é . Assim (d) é incorreta.
Passo 7
Resumo didático curto para a prova (decorável e útil): quando vir
pense imediatamente em “variação líquida de
entre
e
”, isto é
. Se pedirem “quantidade produzida no período” é essa integral; se pedirem “taxa média” divida a integral pelo comprimento do intervalo; se pedirem “taxa instantânea em
” é
; se pedirem “tempo para produzir certa massa
” resolva
.
Resposta
(b)