A função k(t) nos dá a quantidade de ketchup (em quilogramas) produzido em uma fábrica de molho no instante t (em horas) de determinado dia. Nestas condições, escolha o significa
\int_{0}^{4} k^{\prime}(t) d t
(a) O tempo que leva para produzir 4 quilogramas de ketchup.
(b) A quantidade de ketchup produzida durante as primeiras 4 horas.
(c) A taxa de variação média da produção de ketchup nas primeiras 4 horas.
(d) A taxa instantânea de produção em t= 4.

Passo 1

O enunciado dá que a função k(t) representa a quantidade de ketchup (em quilogramas) produzida no instante t (em horas). Pede-se interpretar o que significa
\int_{0}^{4} k^{\prime}(t)\,dt.
As alternativas são:
(a) O tempo que leva para produzir 4 quilogramas de ketchup.
(b) A quantidade de ketchup produzida durante as primeiras 4 horas.
(c) A taxa de variação média da produção de ketchup nas primeiras 4 horas.
(d) A taxa instantânea de produção em t=4.

Passo 2

Primeiro lembrar o que significam k(t) e k'(t).
  • k(t) é a quantidade acumulada de ketchup (em kg) presente no instante t. Por exemplo, k(2)=10 significaria que às 2 horas já há 10 kg produzidos (ou acumulados).
  • k'(t) é a derivada de k em relação a t; ela dá a taxa instantânea de produção em t, isto é, quantos quilogramas por hora estão sendo produzidos naquele instante. Um jeito simples de pensar: se k(t)=2t (exemplo), então k'(t)=2 significa produção constante de 2 kg/h.

Passo 3

Agora a relação matemática-chave: o Teorema Fundamental do Cálculo (ou Teorema da Variação Líquida) diz que, para uma função k diferenciável,
\int_{a}^{b} k'(t)\,dt = k(b)-k(a).
Interpretação física dessa fórmula: integrar a taxa instantânea k'(t) ao longo do intervalo [a,b] soma todas as pequenas contribuições de produção ao longo do tempo e resulta na variação total da quantidade entre a e b.

Passo 4

Aplicando com a=0 e b=4 obtemos:
\int_{0}^{4} k'(t)\,dt = k(4)-k(0).
O lado direito é exatamente a quantidade de ketchup produzida durante as primeiras 4 horas: é a diferença entre o estoque no instante 4 horas e o estoque inicial em 0 horas. Se k(0)=0, então a integral dá diretamente a quantidade total produzida nas primeiras 4 horas; se k(0)\neq0, a integral dá o ganho (produção líquida) nesse período.

Passo 5

Comparando com as alternativas:
  • (b) diz “A quantidade de ketchup produzida durante as primeiras 4 horas.” Esta descrição coincide com k(4)-k(0), que acabamos de mostrar ser igual à integral, portanto (b) parece correta.

Passo 6

Verificando por que as outras estão erradas:
  • (a) “O tempo que leva para produzir 4 quilogramas.” Para obter um tempo é preciso resolver uma equação do tipo k(t)-k(0)=4 para t. A integral \int_0^4 k'(t)\,dt é um número com unidade de quilogramas (é quantidade), não um tempo, então (a) é incorreta. Exemplo: se a integral for 8 isso significa 8 kg produzidos, não “8 horas” nem “tempo”.
  • (c) “A taxa de variação média da produção nas primeiras 4 horas.” A taxa média \overline{r} no intervalo [0,4] é dada por
\overline{r}=\frac{1}{4}\int_{0}^{4} k'(t)\,dt = \frac{k(4)-k(0)}{4}.
Portanto a integral sozinha dá o total produzido, e não a taxa média; para obter a taxa média é preciso dividir por 4. Logo (c) é incorreta.
  • (d) “A taxa instantânea de produção em t=4.” Essa taxa é k'(4), um valor pontual. A integral \int_0^4 k'(t)\,dt é uma soma ao longo do tempo; não é igual a k'(4). Por exemplo, se k'(t)=2 constante, então k'(4)=2 mas a integral é \int_0^4 2\,dt=8. Assim (d) é incorreta.

Passo 7

Resumo didático curto para a prova (decorável e útil): quando vir \int_a^b k'(t)\,dt pense imediatamente em “variação líquida de k entre a e b”, isto é k(b)-k(a). Se pedirem “quantidade produzida no período” é essa integral; se pedirem “taxa média” divida a integral pelo comprimento do intervalo; se pedirem “taxa instantânea em \,t_0” é k'(t_0); se pedirem “tempo para produzir certa massa M” resolva k(t)-k(0)=M.

Resposta

(b)

Exercícios relacionados