O custo médio do ensino nas universidades públicas norte-americanas é US$4.260 por ano (St. Petersburg Times, 11 de dezembro de 2002). Use esse valor como média populacional e considere que o desvio padrão da população é \sigma=US \900 . Suponha que uma amostra aleatória de 50 universidades públicas seja selecionada. a. Apresente a distribuição amostral de \(\bar{x}\) em que \(\bar{x}\) é a média amostral do custo de ensino nas 50 universidades. b. Qual é a probabilidade de a amostra aleatória simples produzir uma média amostral que se situe dentro dos US \(\\) 250 da média populacional?
c. Qual é a probabilidade de a amostra aleatória simples produzir uma média amostral que se situe dentro dos US \ 100$ da média populacional?

Passo 1

O enunciado fornece que a média populacional do custo é \mu = 4260 dólares, o desvio-padrão populacional é \sigma = 900 dólares e o tamanho da amostra é n = 50. Vamos usar o Teorema do Limite Central, segundo o qual a média amostral \bar{x} de uma amostra aleatória simples grande segue aproximadamente uma distribuição normal com média \mu e desvio-padrão \sigma_{\bar{x}} = \sigma / \sqrt{n}.

Passo 2

Calculamos o desvio-padrão da distribuição amostral de \bar{x}:
\sigma_{\bar{x}} = \frac{\sigma}{\sqrt{n}} = \frac{900}{\sqrt{50}} \approx 127{,}28.
Portanto, \bar{x}\sim N\bigl(4260,\;127{,}28^2\bigr).

Passo 3

Para achar a probabilidade de \bar{x} ficar dentro de 250 dólares de \mu, definimos
P\bigl(|\bar{x}-4260|\le 250\bigr) = P\Bigl(-\frac{250}{127{,}28}\le Z\le \frac{250}{127{,}28}\Bigr),
onde Z\sim N(0,1). Calculamos
z = \frac{250}{127{,}28}\approx 1{,}9635,
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P\bigl(|\bar{x}-4260|\le 250\bigr) = 2\,\Phi(1{,}9635)-1 \approx 2\cdot0{,}9751 -1 =0{,}9502.

Passo 4

Para a margem de 100 dólares, fazemos
P\bigl(|\bar{x}-4260|\le 100\bigr) = P\Bigl(-\frac{100}{127{,}28}\le Z\le \frac{100}{127{,}28}\Bigr)
com
z = \frac{100}{127{,}28}\approx 0{,}7854,
então
P\bigl(|\bar{x}-4260|\le 100\bigr) = 2\,\Phi(0{,}7854)-1 \approx 2\cdot0{,}7839 -1 =0{,}5678.

Resposta

a. \displaystyle \bar{x}\sim N\bigl(4260,\;(900/\sqrt{50})^2\bigr).
b. P\bigl(|\bar{x}-4260|\le 250\bigr)\approx 0{,}9502.
c. P\bigl(|\bar{x}-4260|\le 100\bigr)\approx 0{,}5678.

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