A revista Playbill divulgou que a renda familiar anual média de seus leitores é igual a US
119.155
\sigma=
$30.000$.
a. Desenvolva uma estimação por intervalo de confiança de
para a média populacional.
b. Estabeleça uma estimação por intervalo de confiança de
para a média populacional.
c. Determine uma estimação por intervalo de confiança de
para a média populacional.
d. Discuta o que acontece à amplitude do intervalo de confiança quando o grau de confiança é aumentado. Esse resultado parece razoável? Explique.
a. Desenvolva uma estimação por intervalo de confiança de
b. Estabeleça uma estimação por intervalo de confiança de
c. Determine uma estimação por intervalo de confiança de
d. Discuta o que acontece à amplitude do intervalo de confiança quando o grau de confiança é aumentado. Esse resultado parece razoável? Explique.
Passo 1
O enunciado nos dá uma amostra de tamanho
com média amostral
e desvio padrão populacional conhecido
.
Queremos construir intervalos de confiança para a média populacional em três níveis: ,
e
. Para isso, usaremos a distribuição normal padrão e a fórmula de intervalo de confiança com
conhecido.
Queremos construir intervalos de confiança para a média populacional em três níveis:
Passo 2
A fórmula geral do intervalo de confiança de nível
para a média, quando
é conhecido, é
onde
é o quantil da normal padrão tal que
.
Passo 3
Para
de confiança temos
e
.
Calculamos a margem de erro:
Calculamos a margem de erro:
Portanto
Passo 4
Para
de confiança temos
e
.
Logo
Passo 5
Para
de confiança temos
e
.
Assim
Passo 6
A amplitude de cada intervalo é
. Para
,
e
as amplitudes são aproximadamente
,
e
, respectivamente. Ou seja, quanto maior o nível de confiança, maior a margem de erro e mais largo fica o intervalo. Isso faz sentido: para ter mais certeza de conter a verdadeira média é preciso admitir um intervalo mais amplo.
Resposta
a.
b.
c.
d. A amplitude do intervalo cresce com o grau de confiança, pois um nível maior exige margens mais largas para garantir maior probabilidade de conter a média verdadeira; esse comportamento é esperado.
b.
c.
d. A amplitude do intervalo cresce com o grau de confiança, pois um nível maior exige margens mais largas para garantir maior probabilidade de conter a média verdadeira; esse comportamento é esperado.