A revista Playbill divulgou que a renda familiar anual média de seus leitores é igual a US \ 119.155 (Playbill, dezembro de 2003). Suponha que essa estimativa da renda familiar anual média se baseie em uma amostra de 80 famílias; com base em estudos passados, sabe-se que o desvio padrão da população ééíãçãé\sigma= US$30.000$.
a. Desenvolva uma estimação por intervalo de confiança de 90 \% para a média populacional.
b. Estabeleça uma estimação por intervalo de confiança de 95 \% para a média populacional.
c. Determine uma estimação por intervalo de confiança de 99 \% para a média populacional.
d. Discuta o que acontece à amplitude do intervalo de confiança quando o grau de confiança é aumentado. Esse resultado parece razoável? Explique.

Passo 1

O enunciado nos dá uma amostra de tamanho n=80 com média amostral \bar{x}=119155 e desvio padrão populacional conhecido \sigma=30000.
Queremos construir intervalos de confiança para a média populacional em três níveis: 90\%, 95\% e 99\%. Para isso, usaremos a distribuição normal padrão e a fórmula de intervalo de confiança com \sigma conhecido.

Passo 2

A fórmula geral do intervalo de confiança de nível 100(1-\alpha)\% para a média, quando \sigma é conhecido, é
\bar{x}\pm z_{\alpha/2}\,\frac{\sigma}{\sqrt{n}}
onde z_{\alpha/2} é o quantil da normal padrão tal que \Pr\bigl(Z>z_{\alpha/2}\bigr)=\alpha/2.

Passo 3

Para 90\% de confiança temos \alpha=0,10 e z_{0,05}=1,645.
Calculamos a margem de erro:
\mathrm{ME}_{90\%} =1,645\;\frac{30000}{\sqrt{80}} \approx 5518
Portanto
IC_{90\%} =[\,119155-5518,\;119155+5518\,] =[\,113637,\;124673\,].

Passo 4

Para 95\% de confiança temos \alpha=0,05 e z_{0,025}=1,96.
\mathrm{ME}_{95\%} =1,96\;\frac{30000}{\sqrt{80}} \approx 6574
Logo
IC_{95\%} =[\,119155-6574,\;119155+6574\,] =[\,112581,\;125729\,].

Passo 5

Para 99\% de confiança temos \alpha=0,01 e z_{0,005}=2,576.
\mathrm{ME}_{99\%} =2,576\;\frac{30000}{\sqrt{80}} \approx 8640
Assim
IC_{99\%} =[\,119155-8640,\;119155+8640\,] =[\,110515,\;127795\,].

Passo 6

A amplitude de cada intervalo é 2\cdot\mathrm{ME}. Para 90\%, 95\% e 99\% as amplitudes são aproximadamente 11036, 13148 e 17280, respectivamente. Ou seja, quanto maior o nível de confiança, maior a margem de erro e mais largo fica o intervalo. Isso faz sentido: para ter mais certeza de conter a verdadeira média é preciso admitir um intervalo mais amplo.

Resposta

a. IC_{90\%}=[113637,\;124673]
b. IC_{95\%}=[112581,\;125729]
c. IC_{99\%}=[110515,\;127795]
d. A amplitude do intervalo cresce com o grau de confiança, pois um nível maior exige margens mais largas para garantir maior probabilidade de conter a média verdadeira; esse comportamento é esperado.

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