O custo médio de fabricação de x unidades de um produto é C_{m e}=\frac{2000}{x}+20+x e a função receita é \mathrm{R}=200 \mathrm{x}-2 \mathrm{x}^{2}. Sabendo que o C_{m e}=\frac{C t}{q} obtenha:
a) A função Lucro
b) A quantidade que deve ser produzida ou vendida para maximizar o Lucro.

Passo 1

O enunciado dá o custo médio por unidade \displaystyle C_{me}(x)=\frac{2000}{x}+20+x
e a receita total \displaystyle R(x)=200x-2x^2.
Queremos (a) a função lucro L(x) e (b) a quantidade x que maximiza esse lucro. Para isso vamos primeiro obter o custo total C_t(x), depois definir L(x)=R(x)-C_t(x) e, finalmente, usar derivada para achar o ponto de máximo.

Passo 2

Calculamos o custo total multiplicando o custo médio pela quantidade:
C_t(x)=C_{me}(x)\cdot x =\Bigl(\frac{2000}{x}+20+x\Bigr)\,x =2000 + 20x + x^2.

Passo 3

Definimos a função lucro como diferença entre receita e custo total:
L(x)=R(x)-C_t(x) =\bigl(200x-2x^2\bigr)-\bigl(2000+20x+x^2\bigr).
Agora simplificamos:
L(x)=-3x^2+180x-2000.

Passo 4

Para maximizar L, calculamos a derivada e igualamos a zero:
L'(x)=-6x+180=0 \quad\Longrightarrow\quad x=30.

Passo 5

Verificamos que
L''(x)=-6<0,
portanto x=30 é um ponto de máximo.

Resposta

a) \displaystyle L(x)=-3x^2+180x-2000
b) x=30 unidades

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