A função de custo total de um monopolista é dada por \mathrm{C}_{\mathrm{T}}=\mathrm{q}^{2}+\mathrm{q}+10 para 0 \leq \mathrm{q} \leq 100. A demanda de mercado é dada por \mathrm{D}=500-4 \mathrm{P}. Calcular a quantidade e o preço que torna o Lucro máximo.

Passo 1

O enunciado dá a função de custo total de um monopolista
C_T(q)=q^2+q+10
para 0\le q\le100
e a demanda de mercado
D=500-4P.
Queremos achar a quantidade q e o preço P que maximizam o lucro \pi(q)=R(q)-C_T(q).
Conteúdo: maximização de lucro de monopolista usando receita, custo e condição de primeira ordem.

Passo 2

Precisamos da função inversa de demanda P(q). Da equação
q=D=500-4P
isolamos P:
4P=500-q \quad\Longrightarrow\quad P(q)=\frac{500-q}{4}.

Passo 3

A receita total é
R(q)=P(q)\,q =\frac{500-q}{4}\,q =125\,q-\frac{1}{4}q^2.
Logo o lucro é
\pi(q)=R(q)-C_T(q) =125\,q-\frac{1}{4}q^2-\bigl(q^2+q+10\bigr) =124\,q-\frac{5}{4}q^2-10.

Passo 4

Para achar o máximo, derivamos \pi(q) e igualamos a zero:
\pi'(q) =124-\frac{5}{2}\,q \quad\Longrightarrow\quad 124-\frac{5}{2}\,q=0 \quad\Longrightarrow\quad q=\frac{124}{5/2} =\frac{124\cdot2}{5} =49,6.

Passo 5

Verificamos a concavidade pela segunda derivada:
\pi''(q)=-\tfrac{5}{2}<0,
logo é mesmo um máximo e 49,6 está no intervalo permitido.

Passo 6

Finalmente, o preço ótimo é
P =P(q) =\frac{500-49,6}{4} =\frac{450,4}{4} =112,6.

Resposta

A quantidade que maximiza o lucro é q=49,6 e o preço correspondente é P=112,6.

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